Question

3．如图所示，一天体m绕另一天体M匀速圆周运动（M：中心天体，m：环绕天体）．已知环绕周期为T，轨道半径为r，
（1）试求中心天体的质量M．
（2）若已知中心天体的半径为R，求中心天体的密度．（球体积V=$\frac{4π{R}^{3}}{3}$）

Answer 1

分析 （1）天体m绕中心天体M匀速圆周运动，由M的万有引力充当m的向心力，列式可求得中心天体的质量M．
（2）根据质量与体积之比，求解中心天体的密度．

解答 解：（1）天体m绕中心天体M匀速圆周运动，由万有引力等于向心力得：
  G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r
可得 M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$
（2）中心天体的密度 ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$
答：
（1）中心天体的质量M为$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$．
（2）中心天体的密度为$\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$．

点评 天体的运动中一定要注意万有引力的应用，灵活选择向心力公式建立方程求解；要注意知道旋转天体的轨道半径和周期，只能求出中心天体的质量．