Question

8．美国航天航空管理局发射了“月球勘测轨道器（LRO）”LRO每天在50km的高度穿越月球两极上空10次，若以T表示LRO在离月球表面高h处的轨道上做匀速圆周运动的周期，以R表示月球的半径，求：
（1）运行时的向心加速度a_n；
（2）月球表面的重力加速度g．

Answer 1

分析 （1）根据圆周运动向心加速度a_n=r（$\frac{2π}{T}$）²求向心加速度，式中r=R+h．
（2）根据万有引力提供向心力，可求得月球的质量，再由万有引力等于重力，求得月球表面重力加速度．

解答 解：（1）由题知，LRO的轨道半径为 r=R+h．
则其运行时的向心加速度 a_n=r（$\frac{2π}{T}$）²=（R+h）（$\frac{2π}{T}$）²
（2）根据万有引力提供向心力，得：
 G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m（R+h）（$\frac{2π}{T}$）²  ①
在月球表面上，根据万有引力等于重力得：
 G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg ②
解①②得：月球表面的重力加速度 g=$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{{T}^{2}{R}^{2}}$
答：
（1）其运行时的向心加速度a为（R+h）（$\frac{2π}{T}$）²．
（2）月球表面的重力加速度g为$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{{T}^{2}{R}^{2}}$．

点评 万有引力与航天类的题目把握两点：（1）物体在星球上或在星球附近利用万有引力等于重力求解；（2）物体围绕星球做圆周运动，利用万有引力提供向心力求解．