Question

7．如图所示，水平绝缘粗糙的轨道AB与处于竖直平面内的半圆形绝缘光滑轨道BC平滑连接，半圆形轨道的半径R=0.4m在轨道所在空间存在水平向右的匀强电场，电场线与轨道所在的平面平行，电场强度E=1.0×10⁴N/C现有一电荷量q=+1.0×10^-4C，质量m=0.1kg的带电体（可视为质点），在水平轨道上的P点由静止释放，带电体恰好能通过半圆形轨道的最高点C，然后落至水平轨道上的D点．取g=10m/s²．试求：
（1）带电体运动到圆形轨道B点时对圆形轨道的压力大小；
（2）D点到B点的距离X_DB；
（3）带电体在从P开始运动到落至D点的过程中的最大动能．

Answer 1

分析 （1）恰好到达最高点，在最高点，靠重力提供向心力，根据牛顿第二定律求出带电体在圆形轨道C点的速度大小．根据动能定理B点的速度，通过牛顿第二定律求出支持力的大小，从而求出带电体运动到圆形轨道B点时对圆形轨道的压力大小．
（2）带电体在竖直方向上做自由落体运动，在水平方向上做匀变速直线运动，抓住等时性，求出D点到B点的距离．
（3）由P到B带电体作加速运动，故最大速度一定出现在从B经C到D的过程中．在此过程中只有重力和电场力做功，这两个力大小相等，其合力与重力方向成45°夹角斜向右下方，故最大速度必出现在B点右侧对应圆心角为45°处．根据动能定理求出最大的动能．

解答 解：（1）设带电体通过C点时的速度为v_C，依据牛顿第二定律：$mg=m\frac{{{v_C}^2}}{R}$
解得v_C=2.0m/s
设带电体通过B点时的速度为v_B，设轨道对带电体的支持力大小为F_B，带电体在B点时，根据牛顿第二定律有${F_B}-mg=m\frac{{{v_B}^2}}{R}$
带电体从B运动到C的过程中，依据动能定理：$-mg•2R=\frac{1}{2}m{v_C}^2-\frac{1}{2}m{v_B}^2$
联立解得F_B=6.0N
根据牛顿第三定律，带电体对轨道的压力${F_B}^′=6.0N$
（2）设带电体从最高点C落至水平轨道上的D点经历的时间为t，
根据运动的分解有：$2R=\frac{1}{2}g{t^2}$
${x_{DB}}={v_C}t-\frac{1}{2}\frac{Eq}{m}{t^2}$
联立解得x_DB=0
（3）由P到B带电体作加速运动，故最大速度一定出现在从B经C到D的过程中．在此过程中只有重力和电场力做功，这两个力大小相等，其合力与重力方向成45°夹角斜向右下方，故最大速度必出现在B点右侧对应圆心角为45°处．
设小球的最大动能为E_km，根据动能定理有：$qERsin{45°}-mgR（1-cos{45°}）={E_{km}}-\frac{1}{2}m{v_B}^2$
解得E_km=$\frac{{2\sqrt{2}+3}}{5}J$=1.17J．
答：（1）带电体运动到圆形轨道B点时对圆形轨道的压力大小为6N．
（2）D点到B点的距离为0m．
（3）带电体在从P开始运动到落至D点的过程中的最大动能为1.17J．

点评 本题综合考查了动能定理、牛顿第二定律，涉及到运动的分解、圆周运动，综合性较强，最后一问对学生的能力要求较高．需加强训练．