Question

7．2013年12月14日，中国“嫦娥三号”探测器在月面虹湾区域成功软着陆．在使用7500N发动机经历720s动力下降后，“嫦娥三号”携“玉兔”距月球表面高度为h处悬停，如图所示．然后关闭反冲发动机，自由下落到月面实现软着陆．已知卫星在离月球表面高度为R处绕月球做匀速圆周运动的周期为T，月球半径为R，且h＜＜R，将月球看做质量均匀分布的球体，忽略月球的自转．求：
（1）月球表面的重力加速度g的大小；
（2）“嫦娥三号”着陆前瞬间的速度v的大小．

Answer 1

分析 根据万有引力等于重力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$和万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$联立方程计算月球表面的重力加速度g．关闭反冲发动机后，“嫦娥三号”自由下落，有v²=2gh，代入g值，可以计算出“嫦娥三号”着陆前瞬间的速度v的大小．

解答 解：（1）设月球质量为M，卫星质量为m，则根据万有引力提供向心力有：
$G\frac{Mm}{{（2R）}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}（2R）}{{T}^{2}}$
月球表面的物体受到的重力等于万有引力，有：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$
解得：$g=\frac{32{π}^{2}R}{{T}^{2}}$
（2）关闭反冲发动机后，“嫦娥三号”自由下落，则有：
v²=2gh 
代入g值解得：$v=\frac{8π}{T}\sqrt{hR}$
答：（1）月球表面的重力加速度g的大小为$\frac{32{π}^{2}R}{{T}^{2}}$；
（2）“嫦娥三号”着陆前瞬间的速度v的大小为$\frac{8π}{T}\sqrt{hR}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力等于重力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$和万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$，难度适中．