Question

12．如图甲所示，为离子扩束装置的示意图，该装置由加速电场、偏转电场和偏转磁场组成．其中偏转电场的两极板由相距为d=0.12m，板长为L₁=0.12m两块水平平行放置的导体板组成．一群带负电的相同离子（质量为m=6.4×10^-27kg；电荷量为g=3.2×10^-19C；其重力不计）由静止开始，经加速电场加速后，连续不断地沿平行于导体板的方向从两板正中央射入偏转电场．当偏转电场的两极板不加电压时，离子通过两板之间的时间为3×10^-7s；当偏转电场的两极板间加如图乙所示的电压时，所有离子均能从两板间通过，然后进入水平宽度L₂=0.16m、竖直长度足够大、方向垂直纸面向里的匀强磁场中，磁场右边界为竖直放置的荧光屏（不考虑离子间相互作用）．求：

（1）加速电场的电压U₀；
（2）离子射出偏转电场的最大侧移量y_m；
（3）当磁感应强度大小取何值时，离子能打到荧光屏的位置最低，并求出最低位置离中心点O的距离．

Answer 1

分析 （1）粒子经加速电场加速后，在偏转电场中做类平抛运动，对加速过程运用类平抛运动的分运动公式列式，对直线加速过程运用动能定理列式，最后联立求解得到加速电场的电压U₀；
（2）粒子进入偏转电场时，若有偏转电压则粒子在电场方向上先做匀加速直线运动，在偏转电压为0时粒子将保持电场方向上的速度做匀速直线运动，当粒子一进入偏转电场时偏转电压为0，则在电场方向先做匀速运动，当偏转电压不为0时开始做匀加速直线运动，由此可以判断粒子何时进入电场偏转位移最大，何时进入电场偏转位移最小．
（3）作出粒子在磁场中的临界运动轨迹，知道什么情况下粒子进入磁场打到屏上的位置尽可能低，并根据几何关系求解半径关系和最低点离O点的距离h．

解答 解：（1）离子被加速后射入偏转电场，速度设为v₀；粒子在偏转电场中做类平抛运动，故：
${v}_{0}=\frac{{L}_{1}}{t}=\frac{0.12}{3×1{0}^{-7}}m/s=4×1{0}^{5}m/s$
加速电压设为U₀，根据动能定理，有：$q{U}_{0}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：${U}_{0}=\frac{m{v}_{0}^{2}}{2q}=1.6×1{0}^{3}V$
（2）t=3n×10^-7s（n=0、1、2、…）时刻射入偏转电场的离子射出偏转电场有最大侧移量，该粒子在垂直于极板方向分运动：
在前$\frac{2}{3}T$（T=3×10^-7s）时间内匀加速运动：a=$\frac{qU}{md}=1.5×1{0}^{12}m/{s}^{2}$
v_y=a×$\frac{2}{3}T$=3×10⁵m/s
在后$\frac{1}{3}$T时间内匀速运动，射出偏转电场最大侧移量：
${y}_{m}=\frac{1}{2}{v}_{y}×\frac{2}{3}T=0.06m$
（3）t=（3n+2）×10^-7s（n=0、1、2、…）时刻射入偏转电场的离子射出偏转电场有最小侧移量，该粒子在垂直于极板方向分运动情况为只在后$\frac{2}{3}$T时间内匀加速运动，出偏转电场时：
v_y=a×$\frac{2}{3}T$=3×10⁵m/s
侧移量：${y}_{1}=\frac{1}{2}{v}_{y}×\frac{2}{3}T=0.03m$
速度：$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}=5×1{0}^{5}m/s$
偏转角：$tanθ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$=$\frac{3}{4}$
故θ=37°
离子进入磁场做匀速圆周运动，在原子轨迹与荧光屏相切时，离子达到荧光屏的位置最低；
如图，由几何关系得到：
r（1+sinθ）=L₂
解得：r=0.1m
由：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
得：B=$\frac{mv}{qr}=0.1T$
离子打到荧光屏的位置最低点离O点距离：
y=rcosθ-y₁=0.05m
答：（1）加速电场的电压为1.6×10³V；
（2）离子射出偏转电场的最大侧移量为0.06m；
（3）当磁感应强度大小取0.1T时，离子能打到荧光屏的位置最低，最低位置离中心点O的距离为0.05m．

点评 本题的难点是分析带电粒子的运动情况，电荷在电场中的偏转做类平抛运动，关键是运动的合成与分解；电荷在匀强磁场中做匀速圆周运动，关键是画出轨迹，由几何知识求出半径．