Question

17．如图所示，直角坐标系xoy位于竖直平面内，在$-\sqrt{3}$m≤x≤0的区域内有磁感应强度大小B=4.0×10^-2T、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，其左边界与x轴交于P点；在x＞0的某区域内有电场强度大小E=3.2×10⁴N/C、方向沿y轴正方向的有界匀强电场，其宽度d=2m．一质量m=4.0×10^-25kg、电荷量q=-2.0×10^-17C的带电粒子从P点以速度v=4.0×10⁶m/s，沿与x轴正方向成α=60°角射入磁场，经电场偏转最终通过x轴上的Q点（图中未标出），不计粒子重力．求：
（1）带电粒子在磁场中运动的半径和时间；
（2）当电场左边界与y轴重合时Q点的横坐标；
（3）若只改变上述电场强度的大小，要求带电粒子仍能通过Q点，试讨论电场强度的大小E′与电场左边界的横坐标x′的函数关系．

Answer 1

分析 （1）粒子在匀强磁场中由洛伦兹力提供向心力，做匀速圆周运动，由牛顿第二定律求出半径，作出轨迹，由几何知识找出圆心角，求出运动时间．
（2）粒子进入匀强电场，只受电场力，做类平抛运动，根据运动的分解，求出粒子离开电场时的速度偏向角为θ，由数学知识求出Q点的横坐标．
（3）讨论当0＜x′＜4m时，Q点在电场外面右侧，画出轨迹，研究速度偏向角，求出横坐标x′与电场强度的大小E′的函数关系．
当4m≤x′≤6m时，Q点在电场里，画出轨迹，研究偏转距离y，求出横坐标x′与电场强度的大小E′的函数关系

解答 解：（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律
有  $qvB=\frac{{m{v^2}}}{r}$
代入数据解得：r=2m  
如图1所示轨迹交y轴于C点，过P点作v的垂线交y轴于O₁点，
由几何关系得O₁为粒子运动轨迹的圆心，且圆心角为60°．
在磁场中运动时间$t=\frac{T}{6}=\frac{1}{6}×\frac{2πm}{qB}$
代入数据解得：$t=\frac{π}{6}×{10^{-6}}s=5.23×1{0^{-7}}s$
（2）带电粒子离开磁场垂直进入电场后做类平抛运动，
设带电粒子离开电场时的速度偏向角为θ，如图1

则：$tanθ=\frac{v_y}{v}=\frac{qEd}{{m{v^2}}}=\frac{1}{5}$
设Q点的横坐标为x则：
$tanθ=\frac{1}{x-1}$
由上两式解得：x=6m．
（3）电场左边界的横坐标为x′．
①当0＜x′＜4m时，如图2，

设粒子离开电场时的速度偏向角为θ′，
则：$tanθ'=\frac{E'qd}{{m{v^2}}}$
又：$tanθ'=\frac{1}{5-x'}$
由上两式解得：$E'=\frac{16}{5-x'}×{10^4}N/C$
②当4m≤x′≤6m时，如图3，

有  $y=\frac{1}{2}a{t^2}=\frac{{E'q{{（6-x'）}^2}}}{{2m{v^2}}}$
将y=1m及各数据代入上式解得：$E'=\frac{64}{{{{（6-x'）}^2}}}×{10^4}N/C$
答：（1）带电粒子在磁场中运动的半径为2m，时间为5.23×10^-7s；
（2）当电场左边界与y轴重合时Q点的横坐标为6m；
（3）若只改变上述电场强度的大小，要求带电粒子仍能通过Q点，当0＜x′＜4m时，E′=$\frac{16}{5-x′}×1{0}^{4}N/C$；当4m≤x′≤6m时，E′=$\frac{64}{{（6-x′）}^{2}}×1{0}^{4}N/C$．

点评 本题是磁场和电场组合场问题，考查分析和解决综合题的能力，关键是运用几何知识画出粒子的运动轨迹，属于较难题目．