Question

17．“嫦娥一号”的成功发射，为实现中华民族几千年的奔月梦想迈出了重要的一步．已知“嫦娥一号”绕月飞行轨道近似为圆形，距月球表面高度为H，飞行周期为T，月球的半径为R，引力常量为G．求：
（1）月球的质量；
（2）月球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）根据月球对“嫦娥一号”的万有引力提供“嫦娥一号”的向心力，列方程求解月球的质量．（2）第一宇宙速度为贴着月球的表面做圆周运动的速度，根据万有引力提供向心力计算大小．

解答 解：（1）设月球质量为M，“嫦娥一号”的质量为m，根据牛顿第二定律得：
 G$\frac{Mm}{（R+H）^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}（R+H）}{{T}^{2}}$
解得：M=$\frac{4{π}^{2}（R+H）^{3}}{G{T}^{2}}$．
（2）设绕月飞船运行的线速度为V，飞船质量为m₀，则有：
 G$\frac{M{m}_{0}}{{R}^{2}}$=${m}_{0}\frac{{V}^{2}}{R}$
又M=$\frac{4{π}^{2}（R+H）^{3}}{G{T}^{2}}$，
联立解得：V=$\frac{2π（R+H）}{T}\sqrt{\frac{R+H}{R}}$．
答：（1）月球的质量M为$\frac{4{π}^{2}（R+H）^{3}}{G{T}^{2}}$；
（2）月球的第一宇宙速度为$\frac{2π（R+H）}{T}\sqrt{\frac{R+H}{R}}$．

点评 本题考查应用万有引力定律解决实际问题的能力，本题的关键知道线速度与周期的关系，掌握万有引力提供向心力这一理论，并能灵活运用．