Question

15．如图甲所示，空间存在一范围足够大、方向垂直于竖直xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B．让质量为m，电荷量为q（q＞0）的粒子从坐标原点O沿xOy平面入射．不计粒子重力，重力加速度为g．
（1）若该粒子沿y轴负方向入射后，恰好能经过x轴上的A（a，0）点，求粒子速度v₀的大小．
（2）若该粒子以速度v沿y轴负方向入射的同时，一不带电的小球从x轴上方某一点平行于x轴向右抛出，二者经过时t=$\frac{5πm}{6qB}$恰好相遇，求小球抛出点的纵坐标．
（3）如图乙所示，在此空间再加入沿y轴负方向、大小为E的匀强电场，让该粒子改为从O点静止释放，研究表明：粒子在xOy平面内将做周期性运动，其周期T=$\frac{2πm}{qB}$，且在任一时刻，粒子速度的水平分量v_x与其所在位置的y轴坐标绝对值的关系为v_x=$\frac{qB}{m}$y．若在粒子释放的同时，另有一不带电的小球从x轴上方某一点平行于x轴向右抛出，二者经过时间t=$\frac{3πm}{qB}$恰好相遇，求小球抛出点的纵坐标．

Answer 1

分析 （1）根据题意求出半径，根据圆周运动公式就出粒子的速度；
（2）根据相遇时间，流出粒子运动轨迹所对的圆心角，根据几何知识求出此时粒子的坐标；
（3）根据动能定理求出此时粒子在竖直方向的位移，再求出竖直方向总位移，最后求出小球抛出点的纵坐标．

解答 解：（1）由题意可知，粒子做匀速圆周运动的半径r₁，有${r}_{1}=\frac{a}{2}$，
洛伦兹力提供向心力，有$q{v}_{0}B=m\frac{{{v}_{o}}^{2}}{{r}_{1}}$，
解得：${v_0}=\frac{qBa}{2m}$，
（2）洛伦兹力提供向心力，又有$qvB=m\frac{{v}^{2}}{{r}_{2}}$，
解得${r}_{2}=\frac{mv}{qB}$，
粒子做匀速圆周运动的周期T，有$T=\frac{2πm}{qB}$，
则相遇时间为$t=\frac{5πm}{6qB}=\frac{5}{12}T$，
在这段时间内粒子转动的圆心角θ，有θ=150°，
如图3所示，相遇点的纵坐标绝对值为${r}_{2}sin30°=\frac{mv}{2qB}$．

小球抛出点的纵坐标为$y=\frac{1}{2}g（\frac{5πm}{6qB}）^{2}-\frac{mv}{2qB}$．
（3）相遇时${t}^{'}=\frac{3πm}{qB}=\frac{3}{2}T$，
由对称性可知相遇点在第二个周期运动的最低点
设粒子运动到最低点时，离x轴的距离y_m，水平速度为v_x．
由动能定理，有$qE{y}_{m}=\frac{1}{2}m{{v}_{x}}^{2}$，
联立解得：${y}_{m}=\frac{2mE}{q{B}^{2}}$，
故小球抛出点的纵坐标为$y=\frac{1}{2}g（\frac{3πm}{qB}）^{2}-\frac{2mE}{q{B}^{2}}$．
答：（1）若该粒子沿y轴负方向入射后，恰好能经过x轴上的A（a，0）点，求粒子速度v₀的大小为$\frac{qBa}{2m}$．
（2）若该粒子以速度v沿y轴负方向入射的同时，一不带电的小球从x轴上方某一点平行于x轴向右抛出，二者经过时t=$\frac{5πm}{6qB}$恰好相遇，求小球抛出点的纵坐标$\frac{1}{2}g（\frac{5πm}{6qB}）^{2}-\frac{mv}{2qB}$．
（3）如图乙所示，在此空间再加入沿y轴负方向、大小为E的匀强电场，让该粒子改为从O点静止释放，研究表明：粒子在xOy平面内将做周期性运动，其周期T=$\frac{2πm}{qB}$，且在任一时刻，粒子速度的水平分量v_x与其所在位置的y轴坐标绝对值的关系为v_x=$\frac{qB}{m}$y．若在粒子释放的同时，另有一不带电的小球从x轴上方某一点平行于x轴向右抛出，二者经过时间t=$\frac{3πm}{qB}$恰好相遇，求小球抛出点的纵坐标为$\frac{1}{2}g（\frac{3πm}{qB}）^{2}-\frac{2mE}{q{B}^{2}}$．

点评 本题考查了带点粒子在复合场中的运动，过程较复杂，关键理清粒子的运动轨迹，结合动能定理，洛伦兹力和电场力知识进行解决．粒子在磁场中运动时，关键要根据时间和周期的关系确定圆心角．