Question

5．如图所示，半径为R的光滑圆环固定在竖直平面内，AB、CD是圆环相互垂直的两条直径，C、D两点与圆心O等高．一质量为m的光滑小球套在圆环上，一根轻质弹簧一端连在小球上，另一端固定在P点，P点在圆心O的正下方$\frac{R}{2}$处．小球从最高点A由静止开始沿逆时针方向下滑，已知弹簧的原长为R，弹簧始终处于弹性限度内，重力加速度为g．下列说法正确的是（　　）

• A． 小球运动到B点时的速度大小为$\sqrt{2gR}$
• B． 弹簧长度等于R时，小球的机械能最大
• C． 小球运动到B点时重力的功率为$2mg\sqrt{gR}$
• D． 小球在A．B两点时对圆环的压力差为4mg

Answer 1

分析 小球通过A和B两点时，弹簧的形变量相等，弹簧的弹性势能相等，根据系统的机械能守恒求小球运动到B点时的速度．在小球运动的过程中，弹簧的弹力对小球做功等于小球机械能的增量．通过分析小球的受力情况，分析小球速度的变化，从而判断出动能的变化情况．根据牛顿第二定律和第三定律求小球在A、B两点时对圆环的压力差．

解答 解：A、由题分析可知，小球在A、B两点时弹簧的形变量大小相等，弹簧的弹性势能相等，小球从A到B的过程，根据系统的机械能守恒得：
2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$，解得小球运动到B点时的速度为：v_B=2$\sqrt{gR}$．故A错误．
B、根据小球与弹簧系统的机械能守恒知，弹簧长度等于R时，小弹簧的弹性势能为零，最小，则小球的机械能最大，故B正确．
C、小球运动到B点时重力与速度方向垂直，则重力的功率为0，故C错误．
D、设小球在A、B两点时弹簧的弹力大小为F．在A点，圆环对小球的支持力 F₁=mg+F；
在B点，由圆环，由牛顿第二定律得：F₂-mg-F=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，解得圆环对小球的支持力为：F₂=5mg+F；
则F₂-F₁=4mg，由牛顿第三定律知，小球在A、B两点时对圆环的压力差为4mg，故D正确．
故选：BD

点评 解决本题的关键要分析清楚小球的受力情况，判断能量的转化情况，要抓住小球通过A和B两点时，弹簧的形变量相等，弹簧的弹性势能相等．