Question

20．如图，长为L=8m的粗糙水平轨道MN固定在支架上，ABCD为一半径为R=1m的圆形细管道，管道内壁光滑，其端点A与圆心O的连线AO与竖直方向成θ=37°，另一端点D在O点正上方．管道ABCD与水平轨道MN在同一竖直平面内，且水平轨道与端点A的高度差为H=1.8m．用水平向右的恒力F=8N作用于质量为m=1kg．可视为质点的小球上，使小球由水平轨道左端点M无初速开始运动，小球运动中受到的水平轨道的摩擦力恒为1N，小球向右运动x位移时撤去F（x＜L），此后小球恰好能无碰撞地从A端口进入细管道．小球的直径略小于管道的内径，不计空气阻力，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）N端和A端的水平距离s；
（2）外力F作用下小球运动的位移x的大小；
（3）小球进入管道经过管道的最高点D时，管道对小球的压力大小和方向．

Answer 1

分析 （1）小球从N到A做平抛运动，根据下落的高度求出小球到A点时的竖直速度大小，由速度的分解法求出平抛运动的初速度，再由运动学公式求N端和A端的水平距离s；
（2）从M到N过程中，由动能定理求小球运动的位移x．
（3）由分速度的关系求出小球通过A点的速度．小球进入管道后，只有重力做功，由机械能守恒求出到达D点的速度，再由牛顿定律求解．

解答 解：（1）小球到A点时的竖直速度大小为：
${v_{Ay}}=\sqrt{2gH}$=6 m/s 
如图所示，且A点水平分速度为：v_N=$\frac{{v}_{Ay}}{tanθ}$=8 m/s  

从N到A平抛，时间为：${t_H}=\sqrt{\frac{2H}{g}}$=0.6 s 
N端和A端的水平距离为：s=v_Nt_H=4.8 m  
（2）从M到N过程中，由动能定理有：$Fx-fL=\frac{1}{2}mv_N^2-0$
代入数据得：x=5 m 
（3）小球通过A点的速度为：${v_A}=\frac{{{v_{Ay}}}}{sinθ}$=10 m/s
从A到D，由机械能守恒定律有：$\frac{1}{2}mv_A^2=\frac{1}{2}mv_D^2+mgR（1+cos37°）$
代入数据得：v_D=8 m/s  （或者分析得到N与D等高得到v_D=8 m/s）
设在D点，管道对小球的作用力向下为正，由牛顿第二定律得：
${F_D}+mg=m\frac{v_D^2}{R}$
代入数据求得：F_D=54 N，F_D方向竖直向下 
答：（1）N端和A端的水平距离s是4.8m．      
（2）外力F作用下小球运动的位移x的大小是5m．      
（3）小球进入管道经过管道的最高点D时，管道对小球的压力大小为54 N，方向竖直向下．

点评 本题将平抛运动、圆周运动及直线运动结合在一起考查，要注意分析小球运动过程，把握隐含的条件：小球通过A点的速度方向，并根据过程正确的选择物理规律求解．