Question

17．在“勇气号”火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来．假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为v₀，不计火星大气阻力．已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r，周期为T，火星可视为半径为R的均匀球体．求：
（1）它第二次落到火星表面时速度的大小v；
（2）在火星上发射一颗卫星，最小发射速度v_min为多少？

Answer 1

分析 （1）结合万有引力等于重力和万有引力提供向心力求出火星表面的重力加速度，根据动能定理求出卫星第二次落到火星表面时的速度大小．
（2）根据重力提供向心力求出卫星的最小发射速度

解答 解：（1）火星的一个卫星根据万有引力提供向心力，有：$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$
解得：$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
火星表面的物体重力等于万有引力，有：$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
解得：$g=\frac{GM}{{R}_{\;}^{2}}=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}$
第二次落到火星表面时速度的大小为：$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}=\sqrt{{v}_{0}^{2}+2gh}$=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{8{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}h}{{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}}$
（2）在火星上发射一颗卫星，最小发射速即火星的第一宇宙速度为：
$mg=m\frac{{v}_{min}^{2}}{R}$
解得：${v}_{min}^{\;}=\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{R{T}_{\;}^{2}}}$=$\frac{2πr}{T}\sqrt{\frac{r}{R}}$
答：（1）它第二次落到火星表面时速度的大小v为$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{8{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}h}{{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}}$；
（2）在火星上发射一颗卫星，最小发射速度v_min为$\frac{2πr}{T}\sqrt{\frac{r}{R}}$

点评 解决本题的关键知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，以及最小的发射速度等于贴近星球表面做匀速圆周运动的速度．