Question

6．如图所示，物块A的质量为M，物块B、C的质量都是m，且m＜M＜2m．三物块用细线通过轻质滑轮连接，物块B与物块C的距离和物块C到地面的距离都是l．现将物块A下方的细线剪断，若物块A距滑轮足够远且不计一切阻力．求：
（1）物块A上升的最大速度．
（2）若B不能着地，求$\frac{M}{m}$满足的条件；
（3）若B能着地，求物块A上升的最大高度．

Answer 1

分析 （1）当C着地后，A、B两物体系统机械能守恒，A上升L时，速度最大，结合系统机械能守恒求出物块A上升的最大速度；
（2）C落地后，根据AB两物体系统机械能守恒，求出B恰好落地的临界条件，再判断M与m的关系；
（3）物块B着地后，A做竖直上抛运动，根据运动学公式列式求解．

解答 解：（1）A、B、C三物块系统机械能守恒．B、C下降L，A上升L时，A的速度达最大．
2mgL-MgL=$\frac{1}{2}$（M+2m）v²，
解得：v=$\sqrt{\frac{2（2m-M）gL}{2m+M}}$．
（2）当C着地后，若B恰能着地，即B物块下降L时速度为零．A、B两物体系统机械能守恒．有：MgL-mgL=$\frac{1}{2}$（M+m）v²，
将v代入，整理得：M=$\sqrt{2}$m
所以$\frac{M}{m}＞\sqrt{2}$时，B物块将不会着地．   
（3）若B物块着地，着地后A还会上升一段．设上升的高度为h，B着地时A、B整体的速度大小为v₁，从C着地至B着地过程中根据动能定理可得：
$-MgL+mgL=\frac{1}{2}（M+m）（{{v}_{1}}^{2}-{v}^{2}）$，
${{v}_{1}}^{2}=\frac{4（2{m}^{2}-{M}^{2}）gL}{（m+M）（2m+M）}$，
B着地后A继续上升的高度为：h=$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{2g}=\frac{2（2{m}^{2}-{M}^{2}）L}{（m+M）（2m+M）}$．
A 上升的最大高度为：H=2L+h=2L+$\frac{2（2{m}^{2}-{M}^{2}）L}{（m+M）（2m+M）}$．
答：（1）物块A上升的速度为$\sqrt{\frac{2（2m-M）gL}{2m+M}}$．
（2）$\frac{M}{m}＞\sqrt{2}$时，B物块将不会着地．
（3）物块A上升的最大高度为2L+$\frac{2（2{m}^{2}-{M}^{2}）L}{（m+M）（2m+M）}$．

点评 本题关键是要灵活地选择研究对象，虽然单个物体机械能不守恒，但系统机械能守恒．