Question

17．地球质量为M，半径为R，自转周期为T₀，取无穷远处的引力势能为零．质量为m的卫星在绕地球无动力飞行时，它和地球组成的系统机械能守恒，它们之间引力势能的表达式是E_p=-$\frac{GMm}{r}$，其中r是卫星与地心间的距离．现欲将质量为m的卫星从近地圆轨道Ⅰ发射到椭圆轨道Ⅱ上去，轨道Ⅱ的近地点A和远地点B距地心分别为r₁=R，r₂=3R．若卫星在轨道Ⅱ上的机械能和在r₃=2R的圆周轨道Ⅲ上的机械能相同，则（　　）

• A． 卫星在近地圆轨道Ⅰ上运行的周期与地球自转周期相同
• B． 从轨道Ⅰ发射到轨道Ⅱ需要在近地的A点一次性给它提供能量$\frac{GMm}{4R}$
• C． 卫星在椭圆轨道上的周期为T₀$\sqrt{（\frac{{r}_{2}+R}{R}）^{3}}$
• D． 卫星在椭圆轨道Ⅱ上自由运行时，它在B点的机械能大于在A点的机械能

Answer 1

分析 根据开普勒第三定律比较卫星在近地圆轨道Ⅰ上运行的周期与地球同步卫星周期的关系，即得到与地球自转周期关系．根据能量守恒定律求卫星变轨需要提供的能量．由开普勒第三定律求卫星在椭圆轨道上的周期．卫星在椭圆轨道上运动时机械能是守恒的．

解答 解：A、根据开普勒第三定律可知，卫星在近地圆轨道Ⅰ上运行的周期小于地球同步卫星周期，即小于地球自转周期．故A错误．
B、设从轨道Ⅰ发射到轨道Ⅱ需要在近地的A点一次性给它提供能量为E．卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅲ上的速率分别为v₁和v₃．
则v₁=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，v₃=$\sqrt{\frac{GM}{2R}}$
据题知，卫星在轨道Ⅱ上的机械能和在r₃=2R的圆周轨道Ⅲ上的机械能相同，根据能量守恒定律得：
-$\frac{GMm}{R}$+$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$+E=$\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}$+（-$\frac{GMm}{2R}$）
联立解得 E=$\frac{GMm}{4R}$．故B正确．
C、设卫星在椭圆轨道上的周期为T，而地球同步卫星的轨道半径为r．根据开普勒第三定律得：
  $\frac{（\frac{{r}_{1}+{r}_{2}}{2}）^{3}}{{T}^{2}}$=$\frac{{r}^{3}}{{T}_{0}^{2}}$
即：r₁=R，r₂=3R，而r＞R
解得 T=T₀$\sqrt{（\frac{{r}_{2}+R}{2r}）^{3}}$，2r≠R，故C错误．
D、卫星在椭圆轨道Ⅱ上自由运行时，只有万有引力对它做功，其机械能守恒，则它在B点的机械能等于在A点的机械能．故D错误．
故选：B

点评 本题是信息给予题，首先要读懂题意，知道引力势能的表达式是E_p=-$\frac{GMm}{r}$，要知道r的准确含义：r是卫星与地心间的距离．要注意只有卫星做匀速圆周运动，才能根据万有引力等于向心力列式．对于椭圆运动，应根据开普勒定律研究卫星的运动规律．