Question

9．如图所示，在光滑水平面左右两侧各有一竖直弹性墙壁P、Q，平板小车A的左侧固定一挡板D，小车和挡板的总质量 M=2kg，小车上表面O点左侧光滑，右侧粗糙．一轻弹簧左端与挡板相连，原长时右端在O点．质量m=1kg的物块B在O点贴着弹簧右端放置，但不与弹簧连接，B与O点右侧平面间的动摩擦因数μ=0.5．现将小车贴着P固定，有水平B继续向左运动，恒力F推B向左移动x₀=0.1m距离时撤去推力，最终停在O点右侧x₁=0.9m 处，取重力加速度g=10m/s²，弹簧在弹性限度内．
（1）求水平恒力F的大小及弹簧的最大弹性势能E_p；
（2）撤去小车A的固定限制，以同样的力F推B向左移动x₀时撤去推力，发现A与Q发生第一次碰撞前A、B已经达到共同速度，求最初A右端与Q间的最小距离s₀；
（3）在（2）的情况下，求B在O点右侧运动的总路程s及运动过程中B离开O点的最远距离x（车与墙壁碰撞后立即以原速率弹回）．

Answer 1

分析 （1）小车贴着P固定，对全过程研究，根据动能定理列式，可求出F．再由功能关系求弹簧的最大弹性势能E_p；
（2）撤去小车A的固定限制，B离开弹簧后，B做减速运动，A做加速运动，根据牛顿第二定律求出两者的加速度，根据速度相等的条件列式，求出时间，再由位移公式求解最小距离s₀．
（3）最终A、B都停止运动，机械能转化为内能，由功能关系求B在O点右侧运动的总路程s．根据速度关系，由速度公式求出时间，再求解运动过程中B离开O点的最远距离x．

解答 解：（1）取全过程研究，根据动能定理有
  Fx₀-μmgx₁=0
解得  F=45N
由功能关系得  Fx₀=E_p
解得 E_p=45J
（2）设B运动到O点的速度为v₀，根据机械能守恒定律有
  E_p=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
接着B减速，设加速度大小为a₁，根据牛顿第二定律有
  μmg=ma₁；
解得 a₁=5m/s²；
A加速，设加速度大小为a₂，根据牛顿第二定律有
  μmg=Ma₂；
解得 a₂=2.5m/s²；
设运动的共同速度为v₁，则 v₁=v₀-a₁t₁，v₂=a₂t₁，
t₁时间内A运动的距离即为最小距离 s₀=$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{1}^{2}$
解得 s₀=0.2m
（3）最终A、B都停止运动，机械能转化为内能，由功能关系得
  E_p=μmgs
解得 s=0.9m
A与Q第一次碰撞前B距离O点的距离△s₁=${v}_{0}{t}_{1}-\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}-\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{1}^{2}$
   A被Q反弹后瞬间向左速度大小为v₁，B以大小为v₁的速度向右减速，且B的加速度大小仍是 a₁=5m/s²，方向向左；A的加速度仍为a₂=2.5m/s²，方向向右，达到共同速度v₂前B相对A一直向右运动，则
  v₁₂=v₁-a₁t₂，v₂=-v₁+a₂t₂，
解得 t₂=$\frac{4}{15}$s，v₂=-$\frac{1}{3}$m/s
这段时间内B相对A向右移动距离△s₂=（v₁t₂-$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{2}^{2}$）-（-v₁t₂+$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{2}^{2}$）
此时B离开O点的最远距离 x=△s₁+△s₂；
解得 x=0.87m
答：
（1）水平恒力F的大小是45N，弹簧的最大弹性势能E_p是45J．
（2）最初A右端与Q间的最小距离s₀是0.2m．
（3）B在O点右侧运动的总路程s是0.9m，运动过程中B离开O点的最远距离x是0.87m．

点评 本题的关键理清物体的运动过程，根据牛顿第二定律和运动学公式结合分析，分析时要抓住隐含的临界条件，如速度关系．第2小题，也可以根据动量守恒定律和动能定理结合解答．