Question

12．如图所示，两平行金属导轨电阻不计，相距L=1m，导轨平面与水平面的夹角θ=37°，导轨的下端连接一个电阻R．匀强磁场的方向垂直于导轨平面向上，磁感应强度为B=0.4T．质量为0.2kg、电阻不计的金属棒垂直放在两导轨上且保持良好接触，金属棒和导轨间的动摩擦因数为μ=0.25．金属棒沿导轨由静止开始下滑，当金属棒下滑的速度达到稳定时，其速度的大小为10m/s．g取10m/s²，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）金属棒沿导轨开始下滑时的加速度大小；
（2）当金属棒下滑的速度达到稳定时电阻R消耗的功率；
（3）电阻R的阻值．

Answer 1

分析 （1）金属棒开始下滑时，速度为零，安培力为零，根据牛顿第二定律求出加速度．
（2）当金属棒下滑的速度达到稳定时，合力为零，根据平衡得出安培力的大小，抓住安培力的功率等于电阻R消耗的功率进行求解．
（3）根据切割产生的感应电动势公式求出电动势的大小，从而得出电阻R两端的电压，结合R消耗的功率求出电阻R的阻值．

解答 解：（1）设金属棒开始下滑时的加速度为a，根据牛顿第二定律，有：
mgsinθ-μmgcosθ=ma，
代入数据解得：a=4m/s²．
（2）当金属棒下滑的速度达到稳定时，设金属棒所受到的安培力为F，金属棒沿导轨方向受力平衡，根据平衡条件，有：
mgsinθ-μmgcosθ-F=0，
代入数据解得：F=0.8N，
此时金属棒克服安培力做功的功率等于电路中电阻R消耗的电功率，故有：
P=Fv=0.8×10W=8W．
（3）设电路中的感应电流为I，感应电动势为E，由法拉第电磁感应定律，有：
E=BLv=0.4×1×10V=4V，
电阻R两端的电压为：U=E=4V，
由$P=\frac{U^2}{R}$得：$R=\frac{U^2}{P}=\frac{4^2}{8}Ω=2Ω$．
答：（1）金属棒沿导轨开始下滑时的加速度大小为4m/s²；
（2）当金属棒下滑的速度达到稳定时电阻R消耗的功率为8W；
（3）电阻R的阻值为2Ω．

点评 本题考查了电磁感应与力学、电路和能量的综合运用，对于第二问，也可以结合切割产生的感应电动势公式、安培力公式和欧姆定律，运用平衡进行求解，但是没有能量守恒求解来得简捷．