Question

20．如图所示，竖直放置的金属薄板M、N间距为d．绝缘水平直杆左端从N板中央的小孔穿过，与M板固接，右端处在磁感应强度为B的匀强磁场中．质量为m、带电量为+q的中空小球P，套在水平直杆上，紧靠M板放置，与杆的动摩擦因数为μ．当在M、N板间加上适当的电压U后，P球将沿水平直杆从N板小孔射出，试问：
（1）此时M、N哪个板的电势高？为什么？它们间的电势差必须大于多少？
（2）若M、N间电压U=$\frac{5μmgd}{q}$时，小球能沿水平直杆从N板中央小孔射入磁场，则射入的速率多大？若磁场足够大，水平直杆足够长，则小球在磁场中运动的整个过程中，摩擦力对小球做多少功？

Answer 1

分析 （1）小球P要向右从N板小孔射出，必须受到向右的电场力，即可判断出电场方向，判断出M、N哪个板的电势高．电场力必须大于最大静摩擦力，qE＞μmg，结合场强E与电势差的关系，即可求出电势差大小必须满足的条件；
（2）小球P射入磁场后受到竖直向上的洛伦兹力作用，并且洛伦兹力对小球不做功，速度在摩擦力作用下会减小，引起洛伦兹力减小，引起正压力变化，从而会引起摩擦力发生改变运用动能定理去求射入的速率．

解答 解：（1）因P球带正电，只有M板电势高于N板电势，P球才会受到向右的电场力作用．才有可能向右运动．
故，若要小球P沿水平直杆从板间射出，必须使M板电势高于N板电势．  
而要使小球P能沿水平直杆从板间射出，必须使电场力大于小球所受的摩擦力，即
qE＞μmg  而E=$\frac{U}{d}$
故$U＞\frac{μmgd}{q}$
（2）设P球射出电场时的速率为v，由动能定理得：
$qU-μmgd=\frac{1}{2}m{v}^{2}-0$
即：$q\frac{5μmgd}{q}-μmgd=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：$v=2\sqrt{2μgd}$
小球P射入磁场后受到竖直向上的洛伦兹力作用，可能出现三种情况．
Ⅰ．qvB=mg，则小球不受摩擦力，做匀速直线运动．故摩擦力做功为零．
Ⅱ．qvB＞mg，则直杆对小球有向下的压力，小球受摩擦力减速，当减速到洛仑兹力与重力大小相等后做匀速运动．设小球匀速时的速度v_t，则qv_tB=mg
设此过程中摩擦力做的功为W，由动能定理得：$W=\frac{1}{2}m{{v}_{t}}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$         
即$W=\frac{1}{2}m{（\frac{mg}{qB}）}^{2}-\frac{1}{2}m{（2\sqrt{2μgd}）}^{2}$
解得：$W=\frac{{m}^{3}{g}^{2}}{2{q}^{2}{B}^{2}}-4mμgd$
 $W=0-\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：W=-4μmgd
答：（1）M板电势高于N板电势，它们间的电势必须大于$\frac{μmgd}{q}$；
（2）射入的速率为$2\sqrt{2μgd}$，当qvB=mg时，摩擦力做功为零，当qvB＞mg时，摩擦力做功为$\frac{{m}^{3}{g}^{2}}{2{q}^{2}{B}^{2}}-\;4mμgd$，当qvB＜mg时，摩擦力做的功为-4μmgd．

点评 本题是电磁学的综合问题，涉及到得知识点较多，难度较大．特别是第二小问中有三种情况，很多同学只能分析其中的一种或两种，出现遗漏情况．
要注意本题中小球在磁场中运动时所受的摩擦力是一个变力，求变力做功一般用动能定理求解．