Question

2．如图所示，在真空中，一绝缘细线的一端固定在O点，另一端系一质量为m、带电量为+q的小球．ABC是以O点为圆心、半径为a的竖直圆弧．BC是圆弧的竖直直径，OA是圆弧的水平半径，一带电量为+Q的点电荷固定在A点的正上方，距离A点的高度为a，现将小球从A点由静止释放，小球沿圆弧运动到B点时的速度为v，重力加速度为g，静电力常量为k．
（1）求A、B两点的电势差U_AB；
（2）求小球沿圆弧AB运动到B点时对细线的拉力大小F；
（3）在A点给小球竖直向下的初速度v₀，恰能使小球沿圆弧ABC运动到C点，求v₀．

Answer 1

分析 （1）对A、B段运用动能定理，根据动能定理求出AB两点间的电势差．
（2）根据牛顿第二定律，结合径向的合力提供向心力求出细线的拉力大小．
（3）根据牛顿第二定律求出C点的速度，结合动能定理求出初速度的大小．

解答 解：（1）根据动能定理得，mga+qU_AB=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-0$，
解得A、B两点的电势差${U}_{AB}=\frac{\frac{1}{2}m{v}^{2}-mga}{q}$．
（2）在最低点B，根据牛顿第二定律得，$F-mg-{F}_{库}cosθ=m\frac{{v}^{2}}{a}$，
${F}_{库}=k\frac{Qq}{5{a}^{2}}$，
根据几何关系得，cosθ=$\frac{2a}{\sqrt{5}a}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
解得拉力F=$mg+\frac{2\sqrt{5}kQq}{25{a}^{2}}+m\frac{{v}^{2}}{a}$．
（3）因为点电荷与A、C的电势差相等，从A到C电场力不做功，
在C点，根据牛顿第二定律得，mg=m$\frac{v{′}^{2}}{a}$，
解得$v′=\sqrt{ga}$，
根据动能定理得，$-mga=\frac{1}{2}mv{′}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
解得v₀=$\sqrt{3ga}$．
答：（1）A、B两点的电势差为$\frac{\frac{1}{2}m{v}^{2}-mga}{q}$；
（2）小球沿圆弧AB运动到B点时对细线的拉力大小为$mg+\frac{2\sqrt{5}kQq}{25{a}^{2}}+m\frac{{v}^{2}}{a}$．
（3）v₀的大小为$\sqrt{3ga}$．

点评 本题考查了动能定理、牛顿第二定律的综合运用，知道最低点向心力的来源以及最高点的临界情况，结合牛顿第二定律和动能定理进行求解．