Question

1．历史上荷兰科学家惠更斯在研究物体碰撞问题时做出了突出的贡献．惠更斯所做的碰撞实验可简化为如下模型：三个质量分别为m₁、m₂、m₃的小球，半径相同，并排悬挂在长度均为L的三根平行绳子上，彼此相互接触．现把质量为m₁的小球拉开，上升到H高处释放，如图所示，已知各球间碰撞时同时满足动量守恒定律和机械能守恒定律，且碰撞时间极短，H远小于L，不计空气阻力．若三个球的质量不同，要使球1与球2、球2与球3相碰之后，三个球具有同样的动量，则：
（i）m₁：m₂：m₃应为多少？
（ii）它们上升的高度分别为多少？

Answer 1

分析 （i）对于球1与球2碰撞，对于球2与球3碰撞，根据机械能守恒定律列出等式求解质量之比．
（ii）对三球碰后上升的过程，分别运用机械能守恒定律求上升的高度．

解答 解：（i） 由题意知三球碰后的动量均相同，设为p，则 E_k=$\frac{{p}^{2}}{2m}$，球2在与球3碰前具有动量2p，根据机械能守恒定律，对于球2与球3碰撞的情况应有：
$\frac{（2p）^{2}}{2{m}_{2}}$=$\frac{{p}^{2}}{2{m}_{2}}$+$\frac{{p}^{2}}{2{m}_{3}}$  
由此得：m₂：m₃=3：1 
球1与球2碰前的动量为3p，根据机械能守恒定律有：$\frac{（3p）^{2}}{2{m}_{2}}$=$\frac{{p}^{2}}{2{m}_{1}}$+$\frac{（2p）^{2}}{2{m}_{3}}$
 由此得：m₁：m₂=2：1    
从而可得：m₁：m₂：m₃=6：3：1
（ii）设三球碰后上升的高度分别为H₁、H₂、H₃
球1碰前动能 E_k1=m₁gH，又E_k1=$\frac{（3p）^{2}}{2{m}_{1}}$，解得  H=$\frac{9{p}^{2}}{2{m}_{1}^{2}g}$
球1碰后动能 E_k1'=m₁gH₁，又 E_k1=$\frac{{p}^{2}}{2m}$
解得：H₁=$\frac{{p}^{2}}{2{m}_{1}^{2}g}$
从而可得：H₁=$\frac{1}{9}$H 
同理可得：H₂=$\frac{4}{9}$H，H₃=4H
答：（i）m₁：m₂：m₃应为6：3：1．
（ii）它们上升的高度分别为$\frac{1}{9}$H、$\frac{4}{9}$H、4H．

点评 解决本题的关键要抓住弹性碰撞的规律：满足动量守恒定律和机械能守恒定律，分过程列式研究．