Question

20．单色细光束射到一半径为R的透明球表面，光束在过球心的平面内，入射角i=45°．该光束经折射进入球内后又经其内表面反射一次，再经球表面折射后射出．已知真空中光速为c，入射光线与出射光线之间的夹角α=30°，如图所示（图上已画出入射光线和出射光线）．
（1）在图上画出光线在球内的路径和方向（简要说明画图步骤）；
（2）求透明球的折射率和光在透明球中传播的时间．

Answer 1

分析 （1）光线从入射到出射的光路如下图所示．入射光线AB经玻璃折射后，折射光线为BC，又经球内壁反射后，反射光线为CD，再经折射后，折射出的光线为DE．OB、OD为球的半球，即为法线．作出光路图．
（2）根据几何知识和对称性求出折射角r，由折射定律求出折射率n．由几何关系求出光在透明球中传播的距离，由v=$\frac{c}{n}$求出光在透明球中传播的速度，再由t=$\frac{L}{v}$求传播的时间．

解答 解：（1）作入射光线与出射光线之间的夹角为α的角平分线，该角平分线过球心O，与球面交于C点．入射点A和该角平分线与球面交点C的连线为光线在球内的路径，从C点反射后沿CB连线从B点射出，如图所示．
（2）由几何关系及对称性，有：r=$\frac{α}{2}$+（i-r）
解得：r=30°
由折射定律得：n=$\frac{sini}{sinr}$=$\sqrt{2}$
由几何关系得：AC=BC=2Rcosr=2R•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$R
光在透明球中传播路程为：L=2$\sqrt{3}$R
传播速度为：v=$\frac{c}{n}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$c
传播时间为：t=$\frac{L}{v}$=$\frac{2\sqrt{6}R}{c}$
答：（1）在图上画出光线在球内的路径和方向如图所示．
（2）透明球的折射率是$\sqrt{2}$，光在透明球中传播的时间是$\frac{2\sqrt{6}R}{c}$．

点评 本题是几何光学问题，作出光路图是解题的基础，同时要善于运用几何关系分析光线的偏折角与折射角和入射角的关系．