Question

18．从受力特点来看，做简谐运动的物体所受到的回复力F=-kx，负号表示回复力F的方向始终与物体偏离平衡位置的位移x的方向相反，k为比例系数．相关文献表明，力学中的-切做简谐运动的物体，其往复运动的周期均可利用公式T=2π$\sqrt{\frac{m}{k}}$求解，m是做简谐运动的物体质量，k为回复力公式中的比例系数．
然而，我们学习单摆知识时却提到，当摆角θ很小时（如θ≤5°），尽管单摆的往复振动是简谐运动，但其周期却与摆球的质量无关．
（1）请你从受力的角度来证明在摆角很小的情况下，单摆的往复运动是简谐运动．
（2）请根据推理计算说明“单摆周期T与摆球质量m无关”这一结论跟简谐运动的通用周期公式T=2π$\sqrt{\frac{m}{k}}$是否矛盾．

Answer 1

分析 （1）对摆球进行受力分析，可得回复力，再根据sinθ≈θ的近似关系结合数学知识，得到F=-kx，从而得证．
（2）求出振动系数k，把k代入简谐运动周期公式，即可得到单摆周期公式，再进行分析．

解答 解：（1）单摆受力分析如图所示，

单摆的回复力大小为 F_回=G₁=mgsinθ
当θ很小时，sinθ≈θ，θ等于θ角对应的弧长与半径的比值，即sinθ≈θ≈$\frac{PO}{L}$
得 F_回=mg$\frac{PO}{L}$
当θ很小时，弧长PO近似等于弦长，与摆球偏离平衡位置的位移x大小相等，考虑到回复力和位移相反，则得回复力与位移的关系为  
  F_回=-mg $\frac{x}{L}$=-$\frac{mg}{L}$x=-kx，其中 k=$\frac{mg}{L}$
即有 F_回=-kx
所以在摆角很小的情况下，单摆的往复运动是简谐运动．
（2）将k=$\frac{mg}{L}$代入简谐运动周期公式：T=2π$\sqrt{\frac{m}{k}}$
可得单摆周期公式：T=2π$\sqrt{\frac{L}{g}}$，与摆球的质量无关，由于k与m成正比所以这一结论跟简谐运动的通用周期公式T=2π$\sqrt{\frac{m}{k}}$不矛盾．
答：
（1）证明见上．
（2）这一结论跟简谐运动的通用周期公式T=2π$\sqrt{\frac{m}{k}}$不矛盾．

点评 本题考查简谐运动单摆模型，解题的关键是要明确物体做简谐运动的条件，即F=-kx，记住简谐运动周期公式：T=2π$\sqrt{\frac{m}{k}}$．