Question

14．如图所示，粒子源能放出初速度为0，比荷均为$\frac{q}{m}$=1.6×10⁴C/kg的负电荷，进入水平方向的加速电场中，加速后的粒子正好能沿圆心方向垂直进入一个半径为r=0.1m的圆形磁场区域，磁感应强度随时间变化的关系为：B=0.5sinωt（T），在圆形磁场区域右边有一屏，屏的高度为h=0.6 m，屏距磁场右侧距离为L=0.2 m，且屏中心与圆形磁场圆心位于同一水平线上．现要使进入磁场中的带电粒子能全部打在屏上，试求加速电压的最小值为多少？

Answer 1

分析 根据粒子做匀速圆周运动的半径公式，确定出对应的最大偏转角的速度，然后由带电粒子在电场中电场力做功，由动能定理即可求出加速电压．

解答 解：由带电粒子在磁场中运动的规律可知，粒子射出磁场后速度的方向沿过圆心的方向，所以粒子运动的轨迹如图：
由题可知：OO′=r+L=0.1m+0.2m=0.3m
$O′A=\frac{1}{2}\overline{AB}=\frac{1}{2}×0.6m=0.3$m
所以粒子的最大偏转角为：$tanθ=\frac{O′A}{OO′}=\frac{0.3}{0.3}=1$
θ=45°
带电粒子在磁场中运动的过程中，洛伦兹力提供向心力，得：$qvB=\frac{m{v}^{2}}{R}$
得：$R=\frac{mv}{qB}$
可知：粒子的速度越小，磁场的磁感应强度越大，粒子偏转的半径越小，偏转的角度越大．当磁感应强度大小为±0.5T时，粒子射出磁场时偏转的角度最大时，即偏转角是45度时粒子的速度最小，由几何关系得：
$\frac{r}{R}=tan\frac{45°}{2}=tan22.5°$
粒子在磁场中的速度：$v=\frac{qBR}{m}=\frac{qBr}{m•tan22.5°}$
粒子在电场中加速的过程中，电场力做功得：$qU=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
所以$U=\frac{m{v}^{2}}{2q}=\frac{m}{2q}•（\frac{{q}^{2}{B}^{2}{r}^{2}}{{m}^{2}ta{n}^{2}22.5°}）$=$\frac{1}{2}•\frac{q}{m}•\frac{{B}^{2}{r}^{2}}{tan22.5°}=\frac{1}{2}×1.6×1{0}^{4}$×$\frac{0．{5}^{2}×0．{1}^{2}}{0.41{4}^{2}}$≈117V
要使进入磁场中的带电粒子能全部打在屏上，加速电压的最小值为117V．
答：加速电压的最小值为117V．

点评 考查粒子在磁场中做匀速圆周运动与带电粒子在电场中的加速，掌握处理的方法，理解牛顿第二定律和动能定理的应用，注意已知长度与运动轨道半径的正确关系．