Question

5．一个质量为m=2kg的物体由静止从t=0开始运动，在第1、3、5…等奇数秒内作加速度为2m/s²的直线运动，在第2、4、6…偶数秒内作匀速直线运动，问：经过多长时间物体位移的大小为60.25m？

Answer 1

分析 物体在奇数秒的时间内向上做匀加速直线运动，在偶数秒的时间内向上做匀速直线运动，通过数学归纳法得出各段的速度的表达式与各段的位移的表达式，最后使用求和公式即可．

解答 解：物体在第1s内的位移：x₁=$\frac{1}{2}{a_1}t_1^2=\frac{1}{2}$×2×1²m=1m
物体在第1s末的速度：v₁=a₁t₁=2×1m/s=2m/s
物体在第2s内的位移：x₂=v₁t=2×1m=2m
物体在第2s末的速度：v₂=v₁=2m/s
物体在第3s内的位移：x₁=v₂t+$\frac{1}{2}{a_1}t_1^2$=2×1+$\frac{1}{2}$×2×1²m=3m
物体在第3s末的速度：v₃=v₁+a₁t=2m/s+2×1m/s=4m/s
物体在第4s内的位移：x₄=v₃t=4×1m=4m
物体在第4s末的速度：v₄=v₃
…
可知第n秒的位移：x_n=n
n秒内的位移：x_n=$\frac{n（n+1）}{2}$当x_n=60.25m时：120.5=n²+n
n=$\frac{{-1+\sqrt{1+4×120.5}}}{2}$=10.47，
所以：前10s的位移：x₁₀=$\frac{10×（10+1）}{2}$=55m
10s末的速度：v₁₀=5a₁t=5×2×1=10m/s剩下的△x=（60.25-55）m=5.5m的位移上需要的时间t′：
△x=v₁₀t′+$\frac{1}{2}$a₁t′²
代入数据得：t′=0.5s所以物体运动的总时间：t_总=n+t′=10+0.5=10.5s
答：经过10.5s时间物体位移的大小为60.25m．

点评 解决本题的关键理清物体的运动的情况，知道在各个阶段物体做什么运动．以及知道加速度是联系力学和运动学的桥梁．