Question

19．某宇航员登上一自转周期为T的星球后，进行了以下操作，他在该星球的赤道上用一弹簧秤测得一物体的重力大小为G₁；在该星球的两极处测得该物体的重力大小为G₂．已知引力常量为G，则星球的密度为（　　）

• A． $\frac{3π{G}_{2}}{G（{G}_{2}-{G}_{1}）{T}^{2}}$
• B． $\frac{3π（{G}_{2}-{G}_{1}）}{GG{{\;}_{2}T}^{2}}$
• C． $\frac{3π{G}_{2}}{GG{{\;}_{1}T}^{2}}$
• D． $\frac{3π{G}_{1}}{G{G}_{2}{T}^{2}}$

Answer 1

分析 在两极万有引力等于重力，在赤道，万有引力的一个分力等于重力，另一个分力提供向心力，根据该规律求出星球的质量，从而求出星球的密度．

解答 解：设星球质量为M，半径为R
赤道上万有引力分解为重力和向心力，有：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}={G}_{1}^{\;}+m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$…①
在两极万有引力等于重力，有：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}={G}_{2}^{\;}$…②
得：$M=\frac{{G}_{2}^{\;}{R}_{\;}^{2}}{Gm}$
$M=ρ\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}$
解得：$ρ=\frac{3{G}_{2}^{\;}}{Gm4πR}$…③
由①②d得：${G}_{2}^{\;}-{G}_{1}^{\;}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$
解得：$m=\frac{（{G}_{2}^{\;}-{G}_{1}^{\;}）{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}R}$④
将④代入③得：$ρ=\frac{3π{G}_{2}^{\;}}{G（{G}_{2}^{\;}-{G}_{1}^{\;}）{T}_{\;}^{2}}$，故A正确，BCD错误；
故选：A

点评 解决本题的关键知道在地球的赤道和两极，重力与万有引力大小的关系，并能灵活运用．