Question

6．光滑的长轨道形状如图所示，下部分为半圆形，半径为R=0.3m，固定在竖直平面内，质量分别为m、2m的两小环A、B用长为$\frac{5}{3}$R的轻杆连接在一起，套在轨道上，A环距轨道底部高为$\frac{5}{3}$R，现将A、B两环从图示位置由静止释放，重力加速度为g（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8），求：
（1）运动过程中A环距轨道底部的最大高度；
（2）A环到达轨道底部时，两环速度的大小．

Answer 1

分析 （1）对AB为研究对象，根据机械能守恒定律可求得运动过程中A环距轨道底部的最大高度；
（2）由几何关系可明确对应的夹角大小，再根据运动的合成和分解规律分析速度关系，再根据机械能守恒定律可求得速度大小．

解答 解：（1）设A环距轨道底部的最大高度为h，
以AB为研究对象，以轨道最底点为零势能面，依机械能守恒定律得：
mgR+2mg（$\frac{5}{3}R$+$\frac{5R}{3}$）=mgh+2mg（h-$\frac{5R}{3}$）
解得：h=$\frac{7}{6}$m；
（2）由于杆的长度为$\frac{5}{3}R$，故当到达底部时B还在竖直轨道上，如图所示；
此时杆与竖直方向夹角sinθ=$\frac{R}{\frac{5R}{3}}$，即sinθ=$\frac{3}{5}$，可知θ=37°
由图可知
v_Asin37°=v_Bcos37°，即v_B=$\frac{3}{4}$v_A
以AB作为研究对象，依机械能守恒定律得：
mg$\frac{5R}{3}$+2mg（$\frac{5}{3}$R+$\frac{5R}{3}$-$\frac{4}{3}$R）=$\frac{1}{2}$mv_A²-$\frac{1}{2}×2m$v_B²
解得：v_A=4m/s，v_B=3m/s．
答：（1）运动过程中A环距轨道底部的最大高度为$\frac{7}{6}$m；
（2）A环到达轨道底部时，两环速度的大小为4m/s和3m/s．

点评 本题考查机械能守恒定律以及运动的合成和分解规律的应用，本题的关键在于明确两小球速度大小之间的关系，正确利用几何关系进行分析两小球速度大小关系是解题的关键．