Question

14．如图所示，矩形区域AA′BB′中存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B的大小为0.3T，AA′、BB′为磁场边界，它们相互平行，矩形区域的长度足够长，宽度d=1m．一束带正电的粒子从AA′上的O点以沿着与AA′成60°角，大小不同的速度射入磁场，当粒子的速度小于某一值v₀时，粒子在磁场区域内的运动时间为t₀=4×10^-6s，取π≈3，不计粒子所受重力．
（1）推导带电粒子做匀速圆周运动的半径和周期公式
（2）求速度v₀的大小（保留2位有效数字）．

Answer 1

分析 应用洛伦兹力提供向心力解出粒子运动的半径表达式，结合数学关系式解得速度．
由几何知识得到粒子的半径，再代入半径公式得到v的大小．

解答 解：（1）根据牛顿第二定律：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
r=$\frac{mv}{qB}$
T=$\frac{2πr}{v}$，将r代入得：T=$\frac{2πm}{qB}$
（2）若粒子的速度小于某一值v₀时，则粒子不能从BB′离开磁场区域，只能从AA′边离开，无论粒子速度大小，在磁场中运动的时间相同，轨迹如图所示（图中只画了一个粒子的轨迹）．

粒子在磁场区域内做圆周运动的圆心角均为φ₁=240°，运动时间：t₀=$\frac{2}{3}$T又 T=$\frac{2πm}{qB}$
当粒子速度为v₀时，粒子在磁场内的运动轨迹刚好与BB′边界相切，此时有
R₀+R₀sin30°=d
联立得：v₀=6.67×10⁵m/s
答：（1）推导带电粒子做匀速圆周运动的半径和周期公式分别为：r=$\frac{mv}{qB}$，T=$\frac{2πr}{v}$；
（2）速度v₀的大小为6.67×10⁵m/s．

点评 本题解题的关键在于画出粒子运动轨迹，分析粒子圆周运动周期与磁场变化周期的关系．粒子圆周运动的时间往往根据轨迹的圆心角与周期的关系确定，t=$\frac{θ}{2π}$T，θ为转过的圆心角．