题目内容

6．如图所示，一小球（可视为质点）在左侧平台上滑行一段距离从平台右侧水平滑出，而后恰能无碰撞的沿圆弧切线方向从B点进入竖直平面内的光滑圆轨道，并沿轨道下滑，B、C为圆弧上两点，对应圆心角α=37°，（ 计算中g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，tan37°=0.75）则：

（1）若已知小球从左侧平台向右水平滑出时初速度为V0=20m/s，求小球从A处落到圆弧轨道B处所经历的时间；
（2）若人为控制同一小球以不同的初速度V0水平抛出，如图2所示，现给出小球从A处．运动到B处时重力做功的平均功率与抛出点A初速度的函数关系图，求小球的质量m；
（3）现有一小球，与（2）中质量相同，在A处仍以V0=20m/s的初速度水平抛出，若该球从进入圆弧轨道开始始终受到竖直向上的力F=20N的作用，轨道半径R=2.5m，求小球在圆弧轨道中运动过程中，对轨道的压力大小为多少？

分析 （1）由平抛运动规律，根据B的速度方向求得竖直分速度，然后由匀变速运动规律求得运动时间；
（2）根据角度关系求得运动时间，进而得到下落高度，从而按平均功率的定义式求解，即可根据图象求解；
（3）由速度方向求得B点速度，然后对小球进行受力分析，即可得到小球的运动及轨道支持力，再由牛顿第三定律求得压力．

解答 解：（1）由小球从A到B做平抛运动可知：小球的B处的竖直分速度为：vy=v0tanα=15m/s
故小球从A处落到圆弧轨道B处所经历的时间为：$t=\frac{{v}_{y}}{g}=1.5s$；
（2）由小球从A到B做平抛运动可知：小球的B处的竖直分速度为：vy=v0tanα
小球从A处落到圆弧轨道B处所经历的时间为：$t=\frac{{v}_{y}}{g}=\frac{{v}_{0}}{g}tanα$；
小球下落高度为：$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
小球从A处运动到B处时重力做功的平均功率为：$\overline{P}=\frac{mgh}{t}=\frac{1}{2}m{g}^{2}t=\frac{1}{2}mg{v}_{0}tanα$；
故由图可知：$\frac{1}{2}mgtanα=\frac{15}{2}$
得：m=2kg；
（3）小球在圆弧轨道上运动合外力为轨道对小球的支持力，故小球做匀速圆周运动，轨道支持力做向心力；
又有，小球在B处的速度为：$v=\frac{{v}_{0}}{cosα}=25m/s$
解得支持力为：${F}_{N}=\frac{m{v}^{2}}{R}=500N$；
故由牛顿第三定律可得：小球在圆弧轨道中运动过程中，对轨道的压力大小为500N；
答：（1）若已知小球从左侧平台向右水平滑出时初速度为V0=20m/s，那么小球从A处落到圆弧轨道B处所经历的时间为1.5s；
（2）若人为控制同一小球以不同的初速度V0水平抛出，如图2所示，现给出小球从A处．运动到B处时重力做功的平均功率与抛出点A初速度的函数关系图，则小球的质量m为2kg；
（3）现有一小球，与（2）中质量相同，在A处仍以V0=20m/s的初速度水平抛出，若该球从进入圆弧轨道开始始终受到竖直向上的力F=20N的作用，轨道半径R=2.5m，那么小球在圆弧轨道中运动过程中，对轨道的压力大小为500N．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．

练习册系列答案
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C．小球做平抛运动所用的时间
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