Question

1．如图所示，水平轨道左端与长L=1.25m的水平传送带相接，传送带逆时针匀速运动的速度v₀=1m/s．轻弹簧右端固定在光滑水平轨道上，弹簧处于自然状态．现用质量m=0.1kg的小物块（视为质点）将弹簧压缩后由静止释放，到达水平传送带左端B点后，立即沿切线进入竖直固定的光滑半圆轨道最高点并恰好做圆周运动，经圆周最低点C后滑上质量为M=0.9kg的长木板上．竖直半圆轨道的半径R=0.4m，物块与传送带间动摩擦因数μ₁=0.8，物块与木板间动摩擦因数μ₂=0.25，取g=10m/s²    求：

（1）物块到达B点时速度v_B的大小．
（2）弹簧被压缩时的弹性势能E_p．
（3）求当长木板与水平地面间光滑和当长木板与水平地面间动摩擦因数μ₃=0.026时，要使小物块恰好不会从长木板上掉下，木板长度S分别是多少？（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）

Answer 1

分析 （1）由牛顿第二定律求解；
（2）根据B点速度，分析物块在传送带上的摩擦力、速度，然后由动能定理求解；
（3）由机械能守恒求得物块在C点的速度；分别对物块和长木板进行受力分析，由牛顿第二定律求得加速度，进而得到两者的运动，再根据匀变速运动规律得到相对位移．

解答 解：（1）物块沿切线进入竖直固定的光滑半圆轨道最高点并恰好做圆周运动，那么，由牛顿第二定律可得：$mg=\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{R}$，所以，${v}_{B}=\sqrt{gR}=2m/s$；
（2）v_B＞v₀，故物块在传送带上做匀减速运动，摩擦力f=μ₁mg=0.8N不变，那么，对物块由静止到B点应用动能定理可得：${E}_{p}-fL=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$；
所以，弹簧被压缩时的弹性势能${E}_{p}=fL+\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=1.2J$；
（3）物块从B到C只有重力做功，机械能守恒，故有：$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=2mgR+\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，所以，${v}_{C}=\sqrt{{{v}_{B}}^{2}+4gR}=2\sqrt{5}m/s$；
当长木板与水平地面间光滑时，物块在长木板上做加速度${a}_{m}=\frac{{μ}_{2}mg}{m}={μ}_{2}g=2.5m/{s}^{2}$的匀减速运动，木板做加速度${a}_{M}=\frac{{μ}_{2}mg}{M}=\frac{5}{18}m/{s}^{2}$的匀加速运动；
那么，两者要达到共同速度，需要运动时间t，则有：v_C-a_mt=a_Mt；
所以，物块在长木板上运动的相对位移最大为$x={v}_{C}t-\frac{1}{2}{a}_{m}{t}^{2}-\frac{1}{2}{a}_{M}{t}^{2}=3.6m$，故要使小物块恰好不会从长木板上掉下，木板长度S=x=3.6m；
当长木板与水平地面间动摩擦因数μ₃=0.026时，μ₂mg＜μ₃（M+m）g，故长木板保持静止不动，物块在长木板上做加速度${a}_{m}=2.5m/{s}^{2}$的匀减速运动；
那么，物块在长木板上滑动的最大距离$x′=\frac{{{v}_{C}}^{2}}{2{a}_{m}}=4m$，故要使小物块恰好不会从长木板上掉下，木板长度S=x′=4m；
答：（1）物块到达B点时速度v_B的大小为2m/s；
（2）弹簧被压缩时的弹性势能E_p为1.2J；
（3）当长木板与水平地面间光滑和当长木板与水平地面间动摩擦因数μ₃=0.026时，要使小物块恰好不会从长木板上掉下，木板长度S分别是3.6m，4m．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．