Question

12．如图所示，质量相同的三颗卫星a、b、c绕地球做匀速圆周运动，其中b、c在地球的同步轨道上，a距离地球表面的高度为R，此时a、b恰好相距最近，已知地球质量为M、半径为R、地球自转的角速度为ω．引力常量为G，则（　　）

• A． 发射卫星b的速度要大于第一宇宙速度小于第二宇宙速度
• B． 卫星a的速度小于卫星b的速度
• C． 卫星a和卫星b下一次相距最近还需经过t=$\frac{2π}{\sqrt{\frac{GM}{8{R}^{3}}}-ω}$
• D． 若要卫星c与卫星b实现对接，可让卫星c先减速后加速

Answer 1

分析 第一宇宙速度7.9km/s是指在地球上发射的物体绕地球飞行作圆周运动所需的最小初始速度，第二宇宙速度11.2km/s是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度；
万有引力充当向心力，得：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，再比较；
b、c在地球的同步轨道上，所以卫星b、c和地球具有相同的周期和角速度．

解答 解：A．第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，如果大于了第二宇宙速度，卫星将脱离地球，故A正确；
B．人造地球卫星的万有引力充当向心力，即$G\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，a的半径小，所以卫星a的速度大于卫星b的速度，故B错误；
C．b、c在地球的同步轨道上，所以卫星b、c和地球具有相同的周期和角速度．
由万有引力提供向心力，即 $G\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mω²r
ω=$\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$，a距离地球表面的高度为R，所以卫星a的角速度ω_a=$\sqrt{\frac{GM}{8{R}^{3}}}$，此时a、b恰好相距最近，到卫星a和b下一次相距最近，
（ω_a-ω）t=2π
t=$\frac{2π}{\sqrt{\frac{GM}{8{R}^{3}}-ω}}$，故C正确；
D．若要卫星c与卫星b实现对接，可让卫星c先减速到低轨道后，再加速做离心运动，追上高轨道的b，如状态完全相同，可对接．故D正确．
故选：ACD．

点评 理解三种宇宙速度，特别注意第一宇宙速度的三种说法．能抓住万有引力提供向心力列出等式解决问题的思路，再进行讨论求解．