Question

9．如图所示，遥控电动赛车（可视为质点）从A点由静止出发，经过时间t后关闭电动机，赛车继续前进至B点后水平飞出，恰好在C点沿着切线方向进入固定在竖直平面内的圆形光滑轨道，通过轨道最高点D后回到水平地面EF上，E点为圆形轨道的最低点．已知赛车在水平轨道AB部分运动时受到恒定阻力f=0.4N，赛车的质量m=0.4kg，通电后赛车的电动机以额定功率P=2W工作，轨道AB的长度L=2m，B、C两点的高度差h=0.45m，连线CO和竖直方向的夹角α=37°，圆形轨道的半径R=0.5m，空气阻力忽略不计，取重力加速度g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：

（1）赛车运动到C点时速度v_C的大小；
（2）赛车经过最高点D处时受到轨道对它压力N_D的大小；
（3）赛车电动机工作的时间t．

Answer 1

分析 恰好在C点沿着切线方向进入固定在竖直平面内的圆形光滑轨道，再由圆的半径和角度的关系，可以求出C点切线的方向，即平抛末速度的方向，从而可以求C点速度．
从C点运动到最高点D的过程中，根据机械能守恒求得最高点D速度，根据牛顿第二定律求得对轨道压力．
从A点到B点的过程中由动能定理求得工作的时间．

解答 解：（1）因为赛车从B到C的过程作平抛运动，根据平抛运动规律所以有
${v}_{y}=\sqrt{2gh}=\sqrt{2×0.45×10}=3m/s$
${v}_{C}=\frac{{v}_{y}}{sinα}=\frac{3}{0.6}=5m/s$
（2）从C点运动到最高点D的过程中，机械能守恒得
$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}+mgR（1+cosα）$
设赛车经过最高点D处时对轨道压力F_N
${N}_{D}+mg=m\frac{{{v}_{D}}^{2}}{R}$
联立解得N_D=1.6N                                         
（3）根据平抛运动规律所以有赛车在B点的速度大小为
${v}_{B}=\frac{{v}_{y}}{cotα}$
从A点到B点的过程中由动能定理有$Pt-fL=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$
解得t=2s 
答：（1）赛车运动到C点时速度的大小是5m/s；
（2）赛车经过最高点D处时对轨道压力的大小是1.6N；
（3）赛车电动机工作的时间是2s．

点评 恰好在C点沿着切线方向进入固定在竖直平面内的圆形光滑轨道，这是解这道题的关键，理解了这句话就可以求得小车的末速度，本题很好的把平抛运动和圆周运动结合在一起运用机械能守恒解决，能够很好的考查学生的能力，是道好题．