Question

4．成都至南充的高速公路上有一段水平笔直的路段，不少汽车在此路段高速追逐，现有可以视为质点的A、B两车在同一车道上同向行驶，A车在前，B车在后，速度均为v₀=30m/s，相距x₀=100m，t=0时，A车遭遇紧急情况进行变速行驶，B车发现A车变速后也变速行驶，以初速度方向为正方向，A、B两车的加速度随时间变化的关系分别如图甲、乙所示，则：

（1）两车在计时开始之后的9s内何时相距最近？最近距离是多少？
（2）为了B车在t=12s时恰好位于A车后109m处，则乙图中的a₀应是多少？

Answer 1

分析 （1）根据图象判定甲和乙的运动性质根据甲乙运动性质和甲乙开始时的距离，有运动学分析甲乙两车在0-9s内何时相距最近以及最近的距离；
（2）根据甲乙的运动性质求出9s末甲乙相距的距离，再根据甲做匀速直线运动，乙做匀加速直线运动求t=12s时两车的距离从而求出乙匀加速运动的加速度所满足的条件．

解答 解：（1）t₁=3s时A车的速度为：v₁=v₀+a₁t₁，
代入数值得：v₁=0
设3s后再经过t₂时间A、B两车速度相等，此时两车相距最近，有：a₂t₂=v₀+a₃t₂ 
代入数值得t₂=3s，即6s时两车相距最近
两车速度相等前A车的位移为：${x}_{A}^{\;}=\frac{{v}_{0}^{\;}}{2}{t}_{1}^{\;}+\frac{1}{2}{a}_{2}^{\;}{t}_{2}^{2}$
B车的位移为：${x}_{B}^{\;}={v}_{0}^{\;}{t}_{1}^{\;}+{v}_{0}^{\;}{t}_{2}^{\;}+\frac{1}{2}{a}_{3}^{\;}{t}_{2}^{2}$
最近距离为：x_min=x₀+x_A-x_B 
联立并代入数值得：x_min=10m 
（2）9s末，A车的速度为：v′₁=a₂t₃=30m/s 
9s内A车发生的总位移为：${x}_{A}^{′}=\frac{{v}_{0}^{\;}}{2}{t}_{1}^{\;}+\frac{1}{2}{a}_{2}^{\;}{t}_{3}^{2}$
代入数值得：${x}_{A}^{′}=135m$
9s末，B车的速度为：v₂′=v₀+a₃t₃=0，
9s内B车发生总位移为：${x}_{B}^{′}={v}_{0}^{\;}{t}_{1}^{\;}+{v}_{0}^{\;}{t}_{3}^{\;}+\frac{1}{2}{a}_{3}^{\;}{t}_{3}^{2}$，
代入数值得：x_B′=180m
所以9s末，A车在B车前x=x₀+x_A′-x_B′=55m 
若要保证t=12s时B车在A车后109m，有：${v}_{1}^{′}{t}_{A}^{\;}+x-\frac{1}{2}{a}_{0}^{\;}{t}_{4}^{2}=x$
代入数值得：a₀=8m/s² 
答：（1）两车在计时开始之后的9s内6s时相距最近，最近距离是10m
（2）为了B车在t=12s时恰好位于A车后109m处，则乙图中的a₀应是$8m/{s}_{\;}^{2}$

点评 能正确的读懂图象，并能根据图象所反映的物体运动规律进行求解．能抓住两车相距最近时的临界条件是两车速度相等．