Question

17．在倾角为30°的光滑斜面底端固定一挡板，质量均为m的物块B、C通过轻弹簧连接，且均处于静止状态，此时弹簧的压缩量为x₀，O点为弹簧的原长位置．在斜面上距物块B的距离为3x₀的P点由静止释放一质量为m的物块A，A与B相碰（不粘连）后立即一起沿斜面向下运动，并恰好能返回到O点．物块A、B、C均可视为质点，重力加速度为g．
（1）求A、B碰前弹簧具有的弹性势能；
（2）若物块A从P点以一定的初速度沿斜面下滑，两物块A、B返回O点时还具有沿斜面向上的速度，此后恰好可以使C离开挡板而不上滑，求物块A在P点的初速度v₀．

Answer 1

分析 （1）先研究A下滑过程，根据机械能守恒定律求得A与B碰撞前瞬间的速度．再A、B碰撞过程，由动量守恒定律求得碰后共同速度．最后研究A、B整体从压缩弹簧到运动到O点的过程，对A、B及弹簧构成的系统，运用机械能守恒定律列式，即可求解A、B碰前弹簧具有的弹性势能；
（2）C恰好离开挡板而不上滑时，弹簧的弹力大小等于C的重力沿斜面向下的分力大小，且AB运动到了最高点．与上题思路相似进行解答．

解答 解：（1）A从P下滑3x₀过程，由机械能守恒定律得：
mg•3x₀sin30°=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
A与B碰撞过程，取沿斜面向下为正方向，根据动量守恒定律得：
mv=2mv′
A、B整体从压缩弹簧到运动到O点的过程，对A、B及弹簧构成的系统，由机械能守恒定律得：
   $\frac{1}{2}×2mv{′}^{2}$+E_p=2mgx₀sin30°．
联立以上三式解得：A、B碰前弹簧具有的弹性势能为：
  E_p=$\frac{1}{4}$mgx₀sin30°
（2）A以初速度v₀从P下滑3x₀过程，由机械能守恒定律得：
  mg•3x₀sin30°=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
A与B碰撞过程，取沿斜面向下为正方向，根据动量守恒定律得：
   2mv₂=mv₁．
初态时，弹簧的压缩量为：
  x₁=$\frac{mgsin30°}{k}$=x₀
C恰好离开挡板而不上滑时，弹簧的弹力大小等于C的重力沿斜面向下的分力大小，弹簧的伸长量为：
  x₂=$\frac{mgsin30°}{k}$
所以x₁=x₂=x₀，初、末状态弹簧的弹性势能相等，设为E_p．
A、B整体从压缩弹簧到运动到O点的过程，对A、B及弹簧构成的系统，由机械能守恒定律得：
 $\frac{1}{2}×2m{v}_{2}^{2}$+E_p=2mgx₀sin30°+$\frac{1}{2}×2m{v}_{3}^{2}$．
对B及弹簧，在B从O点到最高点的过程中，由机械能守恒定律得
   $\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}$=mgx₀sin30°+E_p．
联立解得：v₀=$\sqrt{6g{x}_{0}}$
答：
（1）A、B碰前弹簧具有的弹性势能是$\frac{1}{4}$mgx₀sin30°．
（2）物块A在P点的初速度v₀是v₀$\sqrt{6g{x}_{0}}$．

点评 本题的关键要分析清楚物体的运动过程，把握每个过程的物理规律，如碰撞的基本规律：动量守恒定律．物体压缩弹簧的过程，系统遵守机械能守恒定律，并要找出状态之间的联系．