Question

17．一根长为l=0.9m的细绳，一端系一质量为m=1kg的小球，另一端悬挂于O点，将小球拉起使细绳伸直并与竖直方向成60°角由静止释放，求：（取g=10m/s²）
（1）小球到达最低点时细绳弹力的大小．
（2）若在O点的正下方P点钉一光滑小钉，小球到达最低点时细绳被钉子挡住，已知小球能在竖直平面内绕P点做完整圆周运动，求OP的最小值．

Answer 1

分析 （1）由机械能守恒定律可求得最低点的速度；再由向心力公式可求得拉力；
（2）由向心力公式及机械能守恒定律联立可求得OP间的最小距离．

解答 解：（1）小球在下摆过程中机械能守恒，则有：
mgl（1-cos60°）=$\frac{1}{2}$mv²
小球在最低点时：
F_N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{l}$
解得：F_N=20N；
（2）在最低点时摆线被钉子P挡住，小球以P点为圆心在竖直平面内圆周运动，半径最大时到达最低点，Q速率最小，设最大半径为R_m；
则有：mg=m$\frac{{v}_{Q}^{2}}{{R}_{m}}$
mgl（1-cos60°）=mg×2R_m+$\frac{1}{2}$mv_Q²
OP的最小距离为l′
l′=l-Rm
解得：l′=0.72m．
答：（1）小球到达最低点时细绳弹力的大小为20N；
（2）OP的最小值为0.72m．

点评 本题考查机械能守恒定律及向心力公式，要注意正确掌握竖直方向的圆周运动的极值问题．