Question

7．一弹簧竖直固定在地面上．上面连接一质量为1kg的物体A，A处于静止状态，此时弹簧被压缩了0.15m．质量也为1kg的物体B从A正上方h=0.3m处自由下落．碰后A，B结合在一起向下运动，已知重力加速度g=10m/s²，该弹簧形变量为x时的弹性势能为E_p=$\frac{1}{2}$kx²．其中k为弹簧的劲度系数．求：
（1）碰后瞬间两物体的总动能；
（2）碰后A、B的最大动能．

Answer 1

分析 （1）由自由落体运动速度位移公式或机械能守恒定律求出B与A碰撞前的速度．两物体碰撞过程遵守动量守恒，由动量守恒定律求出碰撞后两物体的速度，再求碰后瞬间两物体的总动能．
（2）碰后A、B一起向下运动，弹簧的弹力不断增大，当弹力与AB的总重力大小相等时，动能最大．由机械能守恒定律可以求出弹簧的弹性势能．

解答 解：（1）A、B的质量相等，设为m．
物体B自由下落时，由机械能守恒定律得：
  mgh=$\frac{1}{2}$mv₀²
解得：v₀=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10×0.3}$=$\sqrt{6}$m/s；
碰撞过程A、B的动量守恒，以向下为正方向，由动量守恒定律得：
  mv₀=（m+m）v
代入数据解得：v=$\frac{\sqrt{6}}{2}$m/s；
碰后A、B的总动能：E_K=$\frac{1}{2}$（m+m）v²
代入数据解得：E_K=1.5J；
（2）A处于静止状态时，由胡克定律得 mg=kx₁，得 k=$\frac{mg}{{x}_{1}}$=$\frac{10}{0.15}$=$\frac{200}{3}$N/m
碰后A、B一起向下运动，弹簧的弹力不断增大，当弹力与AB的总重力大小相等时，动能最大．设此时弹簧的压缩量为x₂．
则有 2mg=kx₂；
可得 x₂=2x₁=0.3m
从碰后到动能最大的过程中A、B下降的高度为 h′=x₂-x₁=0.15m
根据系统的机械能守恒得：
  2mgh′=E_Km+（$\frac{1}{2}k{x}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}k{x}_{1}^{2}$）
解得碰后A、B的最大动能 E_Km=0.75J；
答：
（1）碰后瞬间两物体的总动能是1.5J；
（2）碰后A、B的最大动能是0.75J．

点评 本题要分析清楚物体运动过程，抓住每个状态和过程的物理规律是关键，要明确碰撞过程，由于外力远小于内力，系统的动量守恒．应用机械能守恒定律、动量守恒定律、胡克定律即可正确解题．