Question

11．如图所示，一边长为L、质量为m、电阻为R的正方形金属方框竖直放置在磁场中，磁感应强度的大小随y的变化规律为B=B₀+ky，k为恒定常数，同一水平面上磁感应强度相同．现将方框以初速度v₀从O点水平抛出，磁场方向始终与方框平面垂直，重力加速度为g，不计阻力．
（1）试计算当方框竖直方向的速度为v_y时，方框中的感应电流．
（2）试计算方框运动过程中的最大速率．

Answer 1

分析 （1）线圈下落过程中，方框中产生的电动势为E=B_下Lv_y-B_上Lv_y=（B_下-B_上）Lv_y，再由欧姆定律求解感应电流的大小；
（2）线圈下落过程中，上、下两边切割磁感线，此时线圈中产生的感应电动势是两条边的电动势的差，线圈达最大速度时，受到的力平衡．

解答 解：（1）方框中产生的电动势为：
E=B_下Lv_y-B_上Lv_y=（B_下-B_上）Lv_y 
方框中的电流为：I=$\frac{E}{R}$
又据题有：B_下-B_上=k△y=kL　
解得：I=$\frac{k{L}^{2}{v}_{y}}{R}$．
（2）根据对称性可知，方框在水平方向所受合力为0，沿水平方向做匀速运动，设方框在竖直方向的最大速度为v_ym，方框中最大的感应电流为I_m，则有：
 mg=（B_下-B_上）LI_m　
 I_m=$\frac{k{L}^{2}{v}_{ym}}{R}$　
可得：v_ym=$\frac{mRg}{{k}^{2}{L}^{4}}$　
所以最终方框以最大速度做匀速运动，其速度大小为：v=$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+\frac{{m}^{2}{R}^{2}{g}^{2}}{{k}^{4}{L}^{8}}}$．
答：（1）当方框竖直方向的速度为v_y时，方框中的感应电流为$\frac{k{L}^{2}{v}_{y}}{R}$．
（2）方框运动过程中的最大速率为$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+\frac{{m}^{2}{R}^{2}{g}^{2}}{{k}^{4}{L}^{8}}}$．

点评 该题属于电磁感应的一般应用，要注意线圈下落过程中，上、下两边切割磁感线，此时线圈中产生的感应电动势是两条边的电动势的差．属于中档题目．