Question

13．如图所示，竖直墙面栓一轻质弹簧，水平面上A点是弹簧原长位置，用手压着一物块（可视为质点）至A的左侧某位置（弹簧与物块不栓接），此时弹簧弹性势能为E_p=49J．已知物块质量m=2kg，A点左侧光滑，右侧粗糙，放手后物块向右运动，然后冲上与水平面相切的竖直半圆光滑轨道，其半径R=0.5m，取g=10m/s²．
（1）若物块恰能运动到最高点C，求物块进入光滑半圆轨道B点的速度大小及物块克服摩擦力所作的功；
（2）若物块与水平面AB段动摩擦因数μ=0.5，要使物块进入半圆轨道且不脱离轨道，求AB之间的距离应满足什么条件．

Answer 1

分析 （1）由牛顿第二定律求出物块到达C点的速度，然后应用机械能守恒定律求出物块到达B点的速度，然后应用能量守恒定律求出克服摩擦力做功．
（2）求出物块不脱离轨道的临界速度，然后应用能量守恒定律求出AB间的距离，再分析答题．

解答 解：（1）物块恰好运动到C点，在C点重力提供向心力，
由牛顿第二定律得：mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$，代入数据解得：v_C=$\sqrt{5}$m/s，
从B到C物块的机械能守恒，由机械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}$mv_B²=$\frac{1}{2}$mv_C²+mg•2R，代入数据解得：v_B=5m/s，
从开始释放物块到物块到B的过程中，由能量守恒定律得：
E_P=$\frac{1}{2}$mv_B²+W，代入数据解得，克服摩擦力做功：W=24J；
（2）物块恰好到达C点时，由能量守恒定律得：
E_P=$\frac{1}{2}$mv_B²+μmgs，代入数据解得：s=2.4m，
物块上升高度为$\frac{1}{2}$R，到达半圆轨道最右端速度恰好为零时，
由能量守恒定律得：E_P=mg•$\frac{1}{2}$R+μmgs′，代入数据解得：s′=4.4m，
物块进入半圆轨道且不脱离轨道，AB之间的距离应满足条件是：2.4m≤AB≤4.4m．
答：（1）若物块恰能运动到最高点C，物块进入光滑半圆轨道B点的速度大小为5m/s，物块克服摩擦力所作的功为24J；
（2）若物块与水平面AB段动摩擦因数μ=0.5，要使物块进入半圆轨道且不脱离轨道，AB之间的距离应满足的条件是：2.4m≤AB≤4.4m．

点评 本题考查了求速度、克服摩擦力做功、AB间的距离等问题，分析清楚物块的运动过程，应用牛顿第二定律、机械能守恒定律、能量守恒定律即可正确解题．