Question

4．如图甲所示，光滑绝缘斜面AB，高h=0.1m，底端B与一块质量为M=2kg的均匀、水平放置的绝缘平板平滑连接，平板长为L=1m，其距B端0.6m处C点固定在高为R=0.5m的竖直支架上，支架的下端与垂直于纸面的固定转轴O连接，平板可绕转轴O沿顺时针方向翻转，在支架正上方有一个水平向右的有界匀强电场E．在斜面顶端A放一带正电q=1×10^-5C的很小的物体，使其由静止滑下，并沿平板进入电场．重力加速度g取10m/s²．

（1）若小物体与平板间的动摩擦因数μ₁=0.4，从板右端的D点水平飞出，要使板不翻转，小物体质量m₁不能超过多少？
（2）小物体取小题（1）的最大质量，动摩擦因数仍为μ₁=0.4，要保证小物体能从D点水平飞出，电场强度E的至少为多少？
（3）若另一小物体能从D点水平飞出，且落地点与D的水平距离x随电场强度E大小变化而变化，图乙是x²与E关系的图象，则小物体的质量m₂为多大？其与平板间的动摩擦因数μ₂是多大？

Answer 1

分析 （1）当物体滑到D点，平板恰好不翻转时物体的质量最大，由力矩平衡条件求出质量的最大值．
（2）当物体恰好滑到D点时，速度为零，由动能定理求解水平匀强电场E的最小值．
（3）从A到D的过程，根据动能定理得到物体滑到D点时的速度v，物体从D点滑出后做平抛运动，下落高度为R，R=$\frac{1}{2}$gt²，水平位移x=vt，
联立得到x²与E的关系，由图象读出斜率和截距，进而求出小物体的质量及其与平板间的动摩擦因数．

解答 解：（1）当物体滑到D点，平板恰好不翻转时物体的质量最大，以O点为支点，由力矩平衡条件得：
MgL₁=m₁gL₂+μ₁m₁gR，
由题意知，L₁=0.1m，L₂=0.4m，M=2kg，R=0.5m，μ₁=0.4，
代入数据解得：m₁=$\frac{1}{3}$kg．   
（2）当物体恰好滑到D点时，速度为零，由动能定理得：
m₁gh+qEL-μ₁m₁gL=0，
则有：E=$\frac{{μ}_{1}{m}_{1}gL-{m}_{1}gh}{qL}$，
代入数据解得：E=1×10⁵N/C．
（3）A到D动能定理得
m₂gh+qEL-μ₂m₂gL=$\frac{1}{2}$m${v}_{2}^{2}$，
物体做平抛运动的过程：
R=$\frac{1}{2}$gt²，x=vt，
联立以上各式可解得，x²=$\frac{4EqLR}{{m}_{2}g}$+4R（h-μ₂L）
由图象可得斜率为：
k=$\frac{2.6-0.8}{（2.8-1）×1{0}^{5}}$=1×10^-5m²N/C，
又因为k=$\frac{4qLR}{{m}_{2}g}$，即m₂=$\frac{4qLR}{kg}$=0.2kg，
由图象可得截距为：b=0.2 m²
又由b=4R（h-μ₂L）得，其与平板间的动摩擦因数：
解得：μ₂=$\frac{h}{L}$-$\frac{b}{4RL}$=0.2．
答：（1）小物体质量m₁不能超过$\frac{1}{3}$kg；
（2）要保证小物体能从D点水平飞出，电场强度E的至少为1×10⁵N/C；
（3）小物体的质量m₂为0.2kg；其与平板间的动摩擦因数μ₂是0.2．

点评 本题是动能定理、平抛运动、力矩平衡与图象的综合应用，由物理规律得到x²与E的关系式，根据数学知识求解有关量，有一定的难度．