Question

12．如图所示，光滑圆杆MN段竖直，OC段水平且与MN相接于O点，两杆分别套有质量为m的环A和2m的环B，两环的内径比杆的直径稍大，A、B用长为2L的轻绳连接，A、O用长为L的轻绳连接，现让装置绕竖直杆MN做匀速圆周运动，当ω=$\sqrt{\frac{2g}{L}}$时，OA段绳刚好要断，AB段绳能承受的拉力足够大，求：
（1）OA段绳刚刚拉直时转动的角速度多大；
（2）OA段绳能承受的最大的拉力；
（3）当ω=2$\sqrt{\frac{g}{L}}$且转动稳定时，A向外侧移动的距离多大．

Answer 1

分析 （1）当OA绳刚好拉直时，OA绳的拉力为零，AB绳在竖直方向上的分力等于B的重力，水平方向上的分力提供A做圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律求出转动的角速度．
（2）根据牛顿第二定律，结合A所受的合力提供向心力求出OA绳承受的最大拉力．
（3）根据绳子竖直方向上的分力等于B的重力，绳子水平方向的合力提供向心力求出绳子与竖直方向的夹角，结合几何关系求出A向外侧移动的距离．

解答 解：（1）当OA绳刚好拉直时，由几何关系知，cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，sin$θ=\frac{1}{2}$，对B分析，在竖直方向上有：
T_ABcosθ=2mg，
${T}_{AB}sinθ=mL{{ω}_{1}}^{2}$，
解得ω₁=$\sqrt{\frac{2\sqrt{3}g}{3L}}$．
（2）根据牛顿第二定律得，
${T}_{m}+{T}_{AB}sinθ=mL{ω}^{2}$，
解得T_m=$\frac{6-2\sqrt{3}}{3}mg$，
（3）当$ω=2\sqrt{\frac{g}{L}}$，且转动稳定时，设绳子与竖直方向的夹角为α，则
T_ABcosα=2mg，
${T}_{AB}sinα=m•2Lsinα{ω}^{2}$，
代入数据有：$cosα=\frac{1}{4}$，sinα=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
则A向外侧移动的距离为：$△x=2Lsinα-L=\frac{\sqrt{15}-2}{2}L$．
答：（1）OA段绳刚刚拉直时转动的角速度为$\sqrt{\frac{2\sqrt{3}g}{3L}}$．
（2）OA段绳能承受的最大的拉力为$\frac{6-2\sqrt{3}}{3}mg$．
（3）A向外侧移动的距离为$\frac{\sqrt{15}-2}{2}L$．

点评 解决本题的关键知道A物体做圆周运动向心力的来源，抓住临界状态，结合牛顿第二定律进行求解．