Question

6．河宽L=300m，水流速v₁=1m/s，船在静水中的速度v₂=3m/s，求：
（1）以最短时间过河，船的航行时间；
（2）以最短位移过河，船的航行时间；
（3）当船身与上游河岸成53°时，船的航行时间及航行位移．（sin53°=0.8，cos53°=0.6）．

Answer 1

分析 船航行时速度为静水中的速度与河水流速二者合速度，当以静水中的速度垂直河岸过河的时候渡河时间最短．由矢量合成的平行四边形定则得知小船的合速度，小船实际以合速度做匀速直线运动，进而求得位移的大小；小船以最短距离过河时，则静水中的速度斜着向上游，合速度垂直河岸．

解答 解：（1）当静水速的方向与河岸垂直时，渡河时间最短，最短时间为：
$t=\frac{d}{{v}_{2}}=\frac{300}{3}$s=100s．
（2）小船以最短距离过河时，则静水中的速度斜着向上游，合速度垂直河岸，那么船垂直河岸行驶的速度为：
v=$\sqrt{{v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-{1}^{2}}$m/s=2$\sqrt{2}$m/s；
所以渡河时间为：
t′=$\frac{d}{v}=\frac{300}{2\sqrt{2}}$s=75$\sqrt{2}$s；
（3）当船身与上游河岸成53°时，船的航行时间为：
t′=$\frac{d}{{v}_{2}sinθ}$=$\frac{300}{3×0.8}$s=125s；
航行位移为：S=50$\sqrt{85}$ m
答：（1）以最短时间过河，船的航行时间100s；
（2）以最短位移过河，船的航行时间75$\sqrt{2}$s；
（3）船的航行时间125s及航行位移50$\sqrt{85}$m．

点评 小船过河问题属于运动的合成问题，要明确分运动的等时性、独立性，运用分解的思想，看过河时间只分析垂直河岸的速度，分析过河位移时，要分析合速度．