Question

14．在半径为R的圆形区域内，存在垂直圆面的匀强磁场．圆边上的P处有一粒子源，不沿垂直于磁场的各个方向，向磁场区发射速率均为v₀的同种粒子，如图所示．现测得：当磁感应强度为B₁时，粒子均从由P点开始弧长为$\frac{1}{2}πR$的圆周范围内射出磁场；当磁感应强度为B₂时，粒子则都从由P点开始弧长为$\frac{2}{3}πR$的圆周范围内射出磁场．不计粒子的重力，则（　　）

• A． 前后两次粒子运动的轨迹半径比为r₁：r₂=$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$
• B． 前后两次粒子运动的轨迹半径比为r₁：r₂=2：3
• C． 前后两次磁感应强度的大小之比为B₁：B₂=$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$
• D． 前后两次磁感应强度的大小之比为B₁：B₂=$\sqrt{3}$：$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 当磁感应强度为B₁时，粒子均从由P点开始弧长为$\frac{1}{2}πR$的圆周范围内射出磁场，即有圆周上有$\frac{1}{4}$圆弧范围上有粒子射出，找到临界几何条件：即距P点$\frac{1}{4}$圆弧的位置恰好有粒子射出，再与洛伦兹力提供向心力联立即可求出磁感应强度B₁和半径r₁；
同理，当磁感应强度为B₂时，粒子则都从由P点开始弧长为$\frac{2}{3}πR$的圆周范围内射出磁场，即有圆周上有$\frac{1}{3}$圆弧的范围上有粒子射出，找到临界几何条件：即距P点$\frac{1}{3}$圆弧的位置恰好有粒子射出，再与洛伦兹力提供向心力联立即可求出磁感应强度B₂和半径r₂；

解答 解：当磁感应强度为B₁时，粒子半径为r₁，粒子运动情况如图所示，
根据洛伦兹力提供向心力可得：qv₀B₁=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{r}_{1}}$…①
根据几何关系有：r₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}R$…②
联立①②式子可得：B₁=$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qR}$…③
当磁感应强度为B₂时，粒子半径为r₂，粒子运动情况如图所示，

根据洛伦兹力提供向心力可得：qv₀B₂=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{r}_{2}}$…④
根据几何关系有：r₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}R$…⑤
联立④⑤式子可得：B₂=$\frac{2\sqrt{3}m{v}_{0}}{3qR}$…⑥
由②⑤式可得：前后两次粒子运动的轨迹半径比为r₁：r₂=$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$，故A正确，B错误；
由③⑥式可得：前后两次磁感应强度的大小之比为B₁：B₂=$\sqrt{3}$：$\sqrt{2}$，故C错误，D正确；
故选：AD．

点评 本题考查带电粒子在有界磁场中的运动，解题关键是要画出各个方向入射的粒子轨迹过程图，找到临界几何条件，利用洛伦兹力提供向心力结合几何关系求出半径和磁感应强度；本题为定圆的旋转模型，可以找一枚硬币，绕P点旋转观察从圆形磁场区域出射的范围，对数学几何能力要求较高难度较大．