Question

2．如图所示，N匝矩形金属线圈的质量为m，电阻为R，放在倾角为θ的光滑斜面上，其ab边长度为L且与斜面底边平行．与ab平行的两水平虚线MN、PQ之间，在t=0时刻加一变化的磁场，磁感应强度B大小随时间t的变化关系为B=kt，方向垂直斜面向上．在t=0时刻将线圈由图中位置静止释放，在t=t₁时刻ab边进入磁场，t=t₂时刻ab边穿出磁场．线圈ab边刚进入磁场瞬间电流为0，穿出磁场前的瞬间线圈加速度为0．（重力加速度为g）求：

（1）t=t₁时刻动生电动势E₁的大小和方向；
（2）MN、PQ之间的距离d；
（3）从t=0到t₁过程中线圈产生的热量Q；
（4）t=t₂时刻线圈的速度v₂．

Answer 1

分析 （1）ab边进入磁场前，线圈做匀加速运动，由牛顿第二定律可以求出线圈的加速度，由匀变速运动的速度公式求出ab边进入磁场时的速度；由法拉第电磁定律求出由于磁场变化而产生的感应电动势，由E=BLv求出ab切割磁感线而产生的感应电动势；
（2）由题意知，这两个电动势的和电动势是零，据此求出磁场的宽度d．
（3）由欧姆定律求出感应电流，由焦耳定律求出焦耳热．
（4）线圈穿出磁场时的加速度为零，合力为零，求出此时线圈受到的安培力，由平衡条件求出线圈穿出磁场时的速度．

解答 解：（1）线圈进入磁场前做匀加速运动，
由牛顿第二定律得：mgsinθ=ma，
所以a=gsinθ，
当t=t₁时，线圈的速度：v₁=at₁=gsinθt₁
ab边切割磁感线产生的感应电动势：
E₁′=NB₁lv₁=NKlgt₁²sinθ
由右手定则可知，感应电动势的方向由b指向a．
（2）由法拉第电磁感应定律得，由于磁场变化产生的感应电动势：
E₁=N$\frac{△Φ}{△t}$=NS$\frac{△B}{△t}$=Ndl$\frac{K{t}_{1}-0}{{t}_{1}-0}$=NKld，
由题意可知瞬间电流为0，
则：E_合=E₁-E₁′=0
即：NKdl=NKlgt₁²sinθ，
所以磁场宽度：d=gt₁²sinθ；
（3）由（2）可知：E₁=NKld，感应电流：I=$\frac{{E}_{1}}{R}$=$\frac{NKld}{R}$，
从t=0到t=t₁运动过程中线圈产生的热量Q：
 $Q={I^2}R{t_1}=\frac{{{N^2}{k^2}{L^2}{g^2}{{sin}^2}θt_1^5}}{R}$；
（4）当t=t₂时，由题意知：mgsinθ-NB₂I₂L=0，
设ab边穿出磁场瞬间的速度为v₂，
${ε_2}=N{B_2}L{v_2}，{I_2}=\frac{{N{B_2}L{v_2}}}{R}$，
所以：${v_2}=\frac{mgRsinθ}{{{N^2}{k^2}{t^2}{L^2}}}$，
答：（1）t=t₁时刻动生电动势E₁的大小为NKlgt₁²sinθ，方向由b指向a；
（2）MN、PQ之间的距离为gt₁²sinθ；
（3）从t=0到t=t₁运动过程中线圈产生的热量为$\frac{{N}^{2}{K}^{2}{L}^{2}{g}^{2}（sinθ）^{2}{t}_{1}^{5}}{R}$；
（4）t=t₂时刻线圈的速度是$\frac{mgRsinθ}{{N}^{2}{k}^{2}{t}^{2}{L}^{2}}$．

点评 分析清楚线圈的运动过程、对线圈正确受力分析、熟练应用法拉第电磁感应定律、动能定律是正确解题的关键，本题计算量大，过程较复杂，是一道难题，解题是要细心、认真，否则会出错．