Question

2．如图所示，有一条两岸平行，河水均匀流动、流速恒定的大河，河水流速为2$\sqrt{3}$m/s，河宽为120m．某人驾着小船渡河，去程时船头朝向始终与河岸垂直，回程时行驶路线最短．已知去程的航线AB与岸边夹角为60°，且船在静水中的速率恒定不变．求：
（1）船去程所用时间及渡河路线的总长；
（2）船回程的过程所用时间．

Answer 1

分析 将小船的运动分解为沿河岸方向和垂直于河岸方向，根据分运动和合运动具有等时性，依据速度的分解，结合运动学公式，求出垂直于河岸方向上的运动时间，从而求出渡河路线的总长．
当实际航线与河岸垂直，则合速度的方向垂直于河岸，根据平行四边形定则求出船头与河岸所成的夹角，从而求解最小位移所需要的时间．

解答 解：（1）由小船去程航线与河岸成60°可知：V_船=V_水tan60°
渡河时间为：t=$\frac{d}{{V}_{船}}$=$\frac{d}{{V}_{水}tan60°}$=20s                    
路线长为：L=$\frac{d}{sin60°}$=$\frac{120}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=80$\sqrt{3}$m                                 
（2）如图所示，渡河的最小位移即河的宽度．为使船能直达对岸，船头应指向河的上游，并与河岸成一定角度θ．
根据三角函数关系有：V_船cosθ-V_水=0，cosθ=$\frac{{V}_{水}}{{V}_{船}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$  
故：sinθ=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
垂直河岸的速度为：v_垂=V_船sinθ=V_船sinθ=6×$\frac{\sqrt{6}}{3}$=2$\sqrt{6}$m/s    
船回程渡河时间为：t=$\frac{d}{{v}_{垂}}$=$\frac{120}{2\sqrt{6}}$=10$\sqrt{6}$s                       
答：（1）船去程所用时间及渡河路线的总长80$\sqrt{3}$m；
（2）船回程的过程所用时间10$\sqrt{6}$s．

点评 解决本题的关键知道分运动和合运动具有等时性，以及会根据平行四边形定则对运动进行合成和分解，并知道各分运动具有独立性，互不干扰．