Question

7．如图所示，倾角θ=37°的斜面体固定在水平桌面上，质量M=2.0kg的物体B放在斜面底端，与斜面间的动摩擦因数μ=0.25，现通过轻细绳跨过光滑的定滑轮与质量m=2.5kg的A物体相连接，连接B的细绳与斜面平行．若用手托住A物体，使其在距地面h=2m高处由静止释放，A物体着地后立即停止运动，A、B物体均可视为质点，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）A物体着时的速度大小
（2）为使B物体不从斜面顶端滑出，斜面长至少要多少？

Answer 1

分析 （1）A下落过程，对AB整体应用动能定理求解；
（2）分析A落地后B的受力情况，由动能定理求得B上滑的位移，即可得到B上滑的总位移，进而得到斜面长的最小值．

解答 解：（1）AB通过绳子作用，在A下落过程速度、位移始终一致；那么对A、B整体，根据动能定理得：
$mgh-Mghsinθ-μMghcosθ=\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}$；
所以，A物体着时的速度大小为：
$v=\sqrt{\frac{2gh（m-Msinθ-μMcosθ）}{M+m}}=2\sqrt{2}m/s$；
（2）A落地后，B继续沿斜面上滑，此过程中绳子弹力为零，对B，只有重力、摩擦力做功，故根据动能定理可得：
$-Mgssinθ-μMgscosθ=0-\frac{1}{2}M{v}^{2}$；
所以，该过程物体B上滑的位移为：
$s=\frac{{v}^{2}}{2g（sinθ+μcosθ）}=0.5m$；
所以，物体B在斜面上滑动的最大位移为S=h+s=2.5m，那么，为使B物体不从斜面顶端滑出，斜面长至少要2.5m；
答：（1）A物体着时的速度大小为$2\sqrt{2}m/s$；
（2）为使B物体不从斜面顶端滑出，斜面长至少要2.5m．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．