Question

2．如图所示，小球A和B质量为m_A=0.3kg和m_B=0.5kg，两球间压缩一弹簧（不栓接），并用细线连接，静止于一光滑的平台上，烧断细线后A球滑上用一小段圆弧连接的光滑斜面，当滑到斜面顶端时速度刚好为零，斜面的高度H=1.25m，B球滑出平台后刚好沿右侧光滑圆槽顶端的切线方向进入槽中，圆形槽的半径R=3m，圆形槽所对的圆心角为120°，g=10m/s²，求：
（1）烧断细线后，小球A脱离弹簧时的速度v_A；
（2）平台到圆形槽的距离；
（3）小球B滑到圆形槽最低点时对槽的压力．

Answer 1

分析 （1）对A应用机械能守恒求解；
（2）由动量守恒求得B做平抛运动的初速度，然后根据末速度方向求得竖直分速度，进而得到运动时间，从而求得距离；
（3）对B球在圆形槽上的运动应用机械能守恒求得在最低点的速度，然后由牛顿第二定律求得支持力，即可由牛顿第三定律求得压力．

解答 解：（1）烧断细线后，A球到达斜面顶端的过程只有重力做功，机械能守恒，故有：$\frac{1}{2}{m_A}v_A^2={m_A}gH$
解得：${v}_{A}=\sqrt{2gH}=5m/s$；
（2）A、B球在烧断绳子的过程动量守恒，故有：m_Av_A=m_Bv_B
解得：${v}_{B}=\frac{{m}_{A}}{{m}_{B}}{v}_{A}=3m/s$；
B球滑出平台后做平抛运动，刚好沿光滑固定圆槽左边顶端的切线方问进入槽中，
根据几何关系得：$tan60°=\frac{v_y}{v_B}$
解得：${v}_{y}={v}_{B}tan60°=3\sqrt{3}m/s$；
则小球做平抛运动的时间为：$t=\frac{v_y}{g}$=$\frac{3\sqrt{3}}{10}s$；
水平方向做匀速运动，则有平台到圆形槽的距离为：$L={v}_{B}t=\frac{9\sqrt{3}}{10}m=1.56m$；
（3）对小球从圆槽最高点到圆槽最低点的过程只有重力做功，机械能守恒，
小球在最高点速度为：$v=\sqrt{v_B^2+v_y^2}=2{v_B}=6m/s$；
小球从圆槽的最高抵到最低点距离为：$h=R（1-cos60°）=\frac{1}{2}R=\frac{3}{2}m$；
再设小球在最低点速度为v₁，根据机械能守恒有：$\frac{1}{2}{m}_{B}{{v}_{1}}^{2}={m}_{B}gh+\frac{1}{2}{m}_{B}{v}^{2}$；
在最低点，根据牛顿第二定律得：${F_N}-{m}_{B}g={m}_{B}\frac{v_1^2}{R}$；
解得：${F}_{N}={m}_{B}g+\frac{{m}_{B}{{v}_{1}}^{2}}{R}={m}_{B}g+\frac{2{m}_{B}gh+{m}_{B}{v}^{2}}{R}$=16N；
根据牛顿第三定律可知，小球B滑到圆槽最低点时对糟的压力为16N，方向竖直向下；
答：（1）烧断细线后，小球A脱离弹簧时的速度v_A为5m/s；
（2）平台到圆形槽的距离为1.56m；
（3）小球B滑到圆形槽最低点时对槽的压力为16N，方向竖直向下．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．