题目内容
9．
若某发电机的正方形线圈以ω=50rad/s的角速度匀速转动，线圈各边长a=40cm，匝数n=100匝，线圈电阻r=1，转动轴OO′穿过线圈对边的中点，整个装置位于磁感应强度B=0.5T的匀强磁场中．线圈为R=9Ω的电阻供电．求：（1）若从图示位置开始计时，写出感应电流的瞬时值表达式；
（2）若从图示位置开始计时，$\frac{π}{300}$s内通过R的电荷量；
（3）若该发电机为某村供电，输出功率为120kW，输出电压为400V，输电导线的总电阻为10Ω，输电导线上损耗的电功率为4kW，该村的用电电压是220V．求升压、降压变压器的原、副线圈的匝数比．
分析 （1）根据公式Em=NBSω求解电动势最大值；由欧姆定律求出电流的最大值，从垂直中性面位置开始计时，i=Imcosωt；
（2）根据法拉第电磁感应定律列式求解电动势的平均值，再根据欧姆定律求解平均电流，最后根据电流定义公式求解电量．
（3）由发电机输出功率与输出电压求得升压变压器的原线圈的电流I1，由是I1，I2得升压变压器的匝数比；
求出升压变压器的匝数比后可求出降压变压器的原线圈的电压，再与用户电压结合求出降压变压器的原副线圈的匝数比．
解答 解：（1）感应电动动势的最大值${E}_{m}^{\;}=nBSω=nB{a}_{\;}^{2}ω$=100×0.5×0.4×0.4×50=400V
感应电流的最大值${I}_{m}^{\;}=\frac{{E}_{m}^{\;}}{R+r}=\frac{400}{9+1}A=40A$
感应电流的瞬时值表达式i=40cos50t（A）
（2）初状态磁通量${Φ}_{1}^{\;}=0$
经$\frac{π}{300}s$，线圈转过的角度$θ=ωt=50×\frac{π}{300}=\frac{π}{6}$
末状态磁通量${Φ}_{2}^{\;}=BSsin\frac{π}{6}$=$0.5×0.4×0.4×\frac{1}{2}=0.04Wb$
平均感应电动势$\overline{E}=n\frac{△Φ}{△t}$
平均电流$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R+r}$
电量$q=\overline{I}•△t$
联立得$q=n\frac{△Φ}{R+r}$=$100×\frac{0.04-0}{9+1}=0.4C$
（3）发电机输出电流${I}_{1}^{\;}=\frac{P}{{U}_{1}^{\;}}=\frac{120×1{0}_{\;}^{3}}{400}=300A$
${P}_{损}^{\;}={I}_{2}^{2}r$
得${I}_{2}^{\;}=\sqrt{\frac{{P}_{损}^{\;}}{r}}=\sqrt{\frac{4000}{10}}=20A$
升压变压器原副线圈的匝数比$\frac{{n}_{1}^{\;}}{{n}_{2}^{\;}}=\frac{{I}_{2}^{\;}}{{I}_{1}^{\;}}=\frac{20}{300}=\frac{1}{15}$
升压变压器副线圈两端的电压${U}_{2}^{\;}=15{U}_{1}^{\;}=15×400=6000V$
输电线上损失的电压${U}_{损}^{\;}={I}_{2}^{\;}R=20×10=200V$
降压变压器原线圈两端的电压${U}_{3}^{\;}={U}_{2}^{\;}-{U}_{损}^{\;}=6000-200=5800V$
降压变压器原副线圈的匝数比为$\frac{{n}_{3}^{\;}}{{n}_{4}^{\;}}=\frac{{U}_{3}^{\;}}{{U}_{4}^{\;}}=\frac{5800}{220}=\frac{290}{11}$
答：（1）若从图示位置开始计时，感应电流的瞬时值表达式i=40cos50t（A）；
（2）若从图示位置开始计时，$\frac{π}{300}$s内通过R的电荷量为0.4C；
（3）若该发电机为某村供电，输出功率为120kW，输出电压为400V，输电导线的总电阻为10Ω，输电导线上损耗的电功率为4kW，该村的用电电压是220V．升压、降压变压器的原、副线圈的匝数比分别为1：15 和 290：11．
点评 本题关键知道正弦式交流电峰值的表达式Em=nBSω，同时要会计算平均值和瞬时值，不难．对于交变电流，求解热量、电功和电功率用有效值，对于正弦式电流最大值是有效值的$\sqrt{2}$倍，求解电量用电流的平均值．
长江作业本同步练习册系列答案
如图，可视为质点的物体，在倾角为θ=30°的固定斜面上，恰好匀速下滑；已知斜面长度L=5m，g取10m/s2，欲使物体由斜面底端开始，沿斜面冲到顶端，物体从底端上滑时的初速度至少为v0=10m/s；滑到顶端所需的时间为1s．
如图所示为“验证动量守恒定律”的实验装置．| A． | 地心是椭圆轨道的一个焦点 | |
| B． | 两火箭一定会在赤道的上空相遇 | |
| C． | 两火箭最远相距L=4（$\frac{g{t}^{2}{R}^{2}}{{π}^{2}}$）${\;}^{\frac{1}{2}}$-2R | |
| D． | 火箭距地面的最大高度h=2（$\frac{g{t}^{2}{R}^{2}}{{π}^{2}}$）${\;}^{\frac{1}{3}}$-R |
如图所示，A和B两个小球固定在一根轻杆的两端，A球的质量为m，B球的质量为2m，此杆可绕穿过O点的水平轴无摩擦地转动．现使轻杆从水平位置由静止释放，则在杆从释放到转过90°的过程中（ ）| A． | A球的机械能增加 | |
| B． | 杆对A球始终不做功 | |
| C． | B球重力势能的减少量等于B球动能的增加量 | |
| D． | A球和B球的总机械能守恒 |
| A． | 空气中小雨滴成球形是因为水的表面张力作用的结果 | |
| B． | 分子间的作用力为零时，分子间的势能一定为零 | |
| C． | 自然界一切过程能量都是守恒的，符合能量守恒定律的宏观过程都能自然发生 | |
| D． | 布朗运动并不是分子的运动，但间接证明了分子在永不停息的做无规则运动 | |
| E． | 一定质量的理想气体，压强不变，体积增大，分子平均动能增加 |
| A． | 衣物受到重力、筒壁的弹力和摩擦力、向心力的作用 | |
| B． | 筒壁的弹力随筒的转速增大而增大 | |
| C． | 衣物随筒壁做圆周运动的向心力是由于摩擦的作用 | |
| D． | 筒壁对衣物的摩擦力随转速增大而增大 |
如图所示，清洗楼房玻璃的工人常用一根绳索将自己悬在空中，工人及其装备的总重量为G，悬绳与竖直墙壁的夹角为α，悬绳对工人的拉力大小为F1，墙壁对工人的弹力大小为F2，玻璃对工人的摩擦力很小，可忽略不计．则（ ）| A． | F1=$\frac{G}{sinα}$ | |
| B． | F2=Gtanα | |
| C． | 若缓慢减小悬绳的长度，F1与F2的合力变大 | |
| D． | 若缓慢减小悬绳的长度，F1、F2都增大 |