Question

1．“探路者”号宇宙飞船在宇宙深处飞行过程中，发现A、B两颗均匀球形天体，两天体各有一颗靠近其表面飞行的卫星，测得两颗卫星的周期相等，以下判断正确的是（　　）

• A． 天体A、B的质量与它们的半径成正比
• B． 两颗卫星的线速度与它们的半径成正比
• C． 天体A、B表面的重力加速度一定相等
• D． 天体A、B的密度一定相等

Answer 1

分析 卫星绕球形天体运动时，由万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律和万有引力定律得出天体的质量与卫星周期的关系式，再得出天体密度与周期的关系式，然后进行比较

解答 解：根据题意，两天体A、B各有一颗靠近其表面飞行的卫星，根据万有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$，得$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$，体积$V=\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}$
天体A、B的密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}$=$\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}}$，因为两颗卫星的周期相等，故天体A、B的密度一定相等；
A、天体的质量$M=ρ•\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}$，故天体A、B的质量与半径的三次方成正比，故A错误；
B、根据万有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$得$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{\frac{Gρ\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}{R}}=\sqrt{\frac{4Gρπ}{3}}R$，即两颗卫星的线速度与半径成正比，故B正确；
C、根据重力等于万有引力有$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$，得$g=\frac{GM}{{R}_{\;}^{2}}=\frac{Gρ•\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}{{R}_{\;}^{2}}=\frac{4Gρπ}{3}R$，半径大的天体表面的重力加速度大，故C错误；
D、根据$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$及$ρ=\frac{M}{V}$，其中$V=\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}$，联立解得$ρ=\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}}$，故D正确；
故选：BD

点评 本题是卫星绕天体运动的问题，要建立好物理模型，根据万有引力提供向心力和万有引力等于重力列式．要熟练应用万有引力定律、圆周运动的规律结合处理这类问题．