Question

17．如图1所示，一水平放置的平行板电容器，上极板接地，下极板是一个金属盘，极板长L，两板间的距离d，电容器的电容C，开始电容器不带电．现在平行板电容器的左侧以相同的速度不断地沿平行于极板的方向向右发射质量m、电荷量q的带正电的小液滴，己知落在下极板的小液滴电荷全部被下极板吸收，重力加速度为g，不计小液滴在运动过程中受到的空气阻力和液滴间的作用，不计下极板边缘的高度和由于下极板聚集液体电容器电容的变化．
（1）若小液滴仅从两板间的中心处射入，且已知射入的第一滴小液滴落在下极板的中心，求：①小液滴射入的初速度v₀的大小；②最终下极板能收集到的液滴数．
（2）若在两极板间接一直流电源（内阻不计），并使小液滴以（1）中同样大小的速度v₀从两板间的各个位置均匀射入（如图2），通过调整电源的输出电压U，可以改变打到下极板的滴数与射入板间总液滴数的比值k．请推导出k随U变化的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）根据粒子做平抛运动的规律，运用运动的合成与分解，并依据运动学公式，即可求解；
（2）根据牛顿第二定律，结合电场力表达式，与运动学公式，即可求解．

解答 解：（1）因为开始电容器不带电，射入的第一滴小液滴做平抛运动
水平方向：$\frac{L}{2}={v}_{0}^{\;}t①$
竖直方向：$\frac{d}{2}=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}②$
联立得${v}_{0}^{\;}=\frac{L}{2}\sqrt{\frac{g}{d}}$
设最终下极板收集到的液滴数为n
对第（n+1）滴液滴受力平衡mg=qE
$E=\frac{U}{d}$
Q=CU
液滴个数$n=\frac{Q}{q}$
联立得$n=\frac{mgCd}{{q}_{\;}^{2}}$
（2）接直流电源时，U不变
$y=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$
$a=\frac{qE}{m}$
$E=\frac{U}{d}$
$k=\frac{y}{d}$
联立以上各式得：$k=\frac{q{L}_{\;}^{2}U}{2m{d}_{\;}^{2}{v}_{0}^{2}}$
答：（1）若小液滴仅从两板间的中心处射入，且已知射入的第一滴小液滴落在下极板的中心，①小液滴射入的初速度v₀的大小$\frac{L}{2}\sqrt{\frac{g}{d}}$；②最终下极板能收集到的液滴数$\frac{mgCd}{{q}_{\;}^{2}}$．
（2）若在两极板间接一直流电源（内阻不计），并使小液滴以（1）中同样大小的速度v₀从两板间的各个位置均匀射入（如图2），通过调整电源的输出电压U，可以改变打到下极板的滴数与射入板间总液滴数的比值k．请推导出k随U变化的函数关系式$k=\frac{q{L}_{\;}^{2}U}{2m{d}_{\;}^{2}{v}_{0}^{2}}$．

点评 考查如何处理平抛运动的思路，掌握运动的合成与分解的方法，理解运动学公式与牛顿第二定律的综合应用．