Question

15．如图，小球从光滑的斜面轨道上的某点下滑至光滑水平轨道末端时，光电装置被触动，控制电路会使转筒立刻以某一角速度匀速连续转动起来（转筒的底面半径为R）．已知小球经过B点时无能量损失，轨道末端与转筒上部相平，与转筒的转轴距离为L，且与转筒侧壁上的小孔的高度差为h．开始时转筒静止，且小孔正对着轨道方向．小球从斜轨上的A点无初速滑下，若正好能钻入转筒的小孔（小孔比小球略大，小球视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g），求：
（1）小球从斜轨上释放时的高度H；  
（2）转筒的角速度ω．

Answer 1

分析 （1）小球从离开圆弧轨道到进入小孔的过程中做平抛运动，根据平抛运动的位移时间关系公式求出运动时间和初速度，再对小球在圆弧轨道上的运动运用机械能守恒定律列式求解；
（2）计算出平抛运动的时间后，根据角速度的定义式求解角速度即可．

解答 解：（1）设小球离开轨道进入小孔的时间为t，则由平抛运动规律得
h=$\frac{1}{2}$gt²
L-R=v₀t
小球在轨道上运动过程中机械能守恒，故有
mgH=$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
联立解得：
t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$
H=$\frac{（L-R）^{2}}{4h}$
（2）在小球做平抛运动的时间内，圆筒必须恰好转整数转，小球才能钻进小孔，
即ωt=2nπ（n=1，2，3…）．
所以ω=$nπ\sqrt{\frac{2g}{h}}$（n=1，2，3…）
答：（1）小球从斜轨上释放时的高度H为$\frac{{（L-R）}^{2}}{4h}$；
（2）转筒的角速度ω为$nπ\sqrt{\frac{2g}{h}}$（n=1，2，3…）．

点评 本题关键是分析求出小球和圆筒的运动规律，然后根据机械能守恒定律、平抛运动分位移公式、角速度定义式列式求解．