Question

5．如图所示，以MN为边界分布着范围足够大的等大反向的匀强磁场，一个质量为m，带电量为-q的粒子，以初速度v₀从边界上的P点沿与MN成30°角的方向射入MN右侧磁场区域后，通过了边界上的Q点，已知PQ间距为L．（不计粒子重力）
（1）求磁感应强度B的大小应满足什么条件；
（2）证明：粒子从P点到Q点的运动时间为定值，与磁感应强度B的大小无关．

Answer 1

分析 （1）分析粒子在磁场两侧运动的情况，求出每次圆周运动粒子向下平移的距离，找到粒子能经过Q点的几何条件，再与洛伦兹力提供向心力联立，即可求出磁感应强度B所满足的条件；
（2）求出粒子运动的总的弧长，即总路程，根据t=$\frac{s}{{v}_{0}}$即可求出粒子从P点到Q点的运动时间，式子中各物理量均为定值，并且里面不含磁感应强度B即可证明结论．

解答 解：（1）粒子在两侧磁场中做圆周运动的轨迹示意图，如图所示，
根据几何关系可知，粒子圆周运动的半径与L间应满足：L=nR（n=1，2，3…）
根据洛伦兹力提供向心力可得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
联立两式可得：B=$\frac{m{v}_{0}}{qR}$=$\frac{nm{v}_{0}}{qL}$（n=1，2，3…）
（2）设粒子经过n次圆周运动运动到Q点，
图中每段圆周的长度：s₀=$\frac{2πR}{6}$=$\frac{πL}{3n}$
从P点到Q点轨迹的总长度：s=ns₀=$\frac{πL}{3}$
粒子圆周运动的速度大小不变，所以粒子在磁场中的运动时间：t=$\frac{s}{{v}_{0}}$=$\frac{πL}{3{v}_{0}}$
可见，粒子从P点到Q点的运动时间为定值，与磁感应强度B的大小无关
答：（1）磁感应强度B的大小应满足B=$\frac{nm{v}_{0}}{qL}$（n=1，2，3…）；
（2）证明过程见解析．

点评 本题考查带电粒子在有界磁场中的运动，解题关键是要画出粒子轨迹过程图，找出粒子从P点出发能通过Q点的几何条件，再与洛伦兹力提供向心力结合即可求解，第二问证明粒子从P点到Q点的运动时间为定值，与磁感应强度B的大小无关，只需求解时间t的表达式即可．