Question

17．按照我国月球探测活动计划，共分两步．第一步“绕月”工程，圆满完成任务后，再开展第二步“落月”工程．假设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g₀，飞船沿距月球中心距离为3R的圆形轨道Ⅰ运动，到达轨道的A点，点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道Ⅱ的近月点B再次点火进入近月轨道Ⅲ（B点离月球表面的高度小于月球的半径）绕月球做圆周运动，根据以上信息，求（1）飞船在轨道I上运行的速度大小；
（2）飞船在椭圆轨道Ⅱ上A处的加速度大小；
（3）飞船在椭圆轨道Ⅱ上从A处运动到B处的最短时间．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供向心力和在地面上万有引力等于重力列方程联立求解；
（2）根据牛顿第二定律求解加速度大小；
（3）求解卫星在轨道Ⅰ上运动的周期，根据开普勒第三定律求解卫星在Ⅱ轨道上运动的周期，由此求解飞船在椭圆轨道Ⅱ上从A处运动到B处的最短时间．

解答 解：（1）飞船在轨道Ⅰ上，万有引力提供向心力：$\frac{GMm}{（3R）^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{3R}$，
在月球表面，万有引力等于重力得：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m{g}_{0}$，
解得：v=$\sqrt{\frac{R{g}_{0}}{3}}$；
（2）根据牛顿第二定律可得：$\frac{GMm}{{（3R）}^{2}}$=ma，
解得：a=$\frac{{g}_{0}}{3}$；
（3）卫星在轨道Ⅰ上运动的周期为T₁=$\frac{2π•3R}{v}$=$6π\sqrt{\frac{3R}{{g}_{0}}}$；
卫星在Ⅱ轨道运动的半长轴为$\frac{3R+R}{2}$=2R，
根据开普勒第三定律可得：$\frac{（3R）^{3}}{{T}_{1}^{2}}$=$\frac{{（2R）}^{3}}{{T}_{2}^{2}}$，
解得卫星在Ⅱ轨道上运动的周期为T₂=$4π\sqrt{\frac{2R}{{g}_{0}}}$，
所以飞船在椭圆轨道Ⅱ上从A处运动到B处的最短时间为t=$\frac{{T}_{2}}{2}$=$2π\sqrt{\frac{2R}{{g}_{0}}}$．
答：（1）飞船在轨道I上运行的速度大小为$\sqrt{\frac{R{g}_{0}}{3}}$；
（2）飞船在椭圆轨道Ⅱ上A处的加速度大小为$\frac{{g}_{0}}{3}$；
（3）飞船在椭圆轨道Ⅱ上从A处运动到B处的最短时间为$2π\sqrt{\frac{2R}{{g}_{0}}}$．

点评 本题主要是考查了万有引力定律及其应用；解答此类题目一般要把握两条线：一是在星球表面，忽略星球自转的情况下，万有引力近似等于重力；二是根据万有引力提供向心力列方程进行解答．