Question

13．如图所示，一长度为L轻质细线一端固定在竖直挡板上的0点，另一端拴一个质量为m的小球，开始细线刚好被拉直，与水平方向成夹角θ=30°，N为0点正下方水平地面上一点，0N距离恰好等于细线长度，小球与地面间动摩擦因数为μ，把小球无初速释放，小球运动到最低点N时剪断细线，求：
（1）小球在刚到N点时细线上的张力大小（剪断前瞬间）；
（2）小球在地面上运动的最大距离．

Answer 1

分析 （1）小球先向下做自由落体运动，绳子伸直瞬间，沿着垂直绳子方向的分速度不变，平行绳子方向的分速度突变为零，此后摆动过程机械能守恒，在N点，重力和拉力的合力提供向心力；
（2）对从N点向左过程，根据动能定理列式求解最大距离．

解答 解：（1）绳子伸直前做自由落体运动，故：v²=2gL，
解得：v=$\sqrt{2gL}$；
绳子绷紧瞬间，沿着垂直绳子方向的分速度不变，为：
v₁=vcos30°=$\frac{\sqrt{6gL}}{2}$；
摆动到最低点过程，根据机械能守恒定律，有：
$mgL（1-cos30°）=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
解得：
v₂=$\sqrt{（\frac{7}{2}-\sqrt{3}）gL}$
在N点，重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：
N-mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{L}$
解得：N=$（\frac{9}{2}-\sqrt{3}）mg$
（2）对从N点向左过程，根据动能定理，有：
-μmg•x=0-$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
解得：
x=$\frac{（7-2\sqrt{3}）L}{4μ}$
答：（1）小球在刚到N点时细线上的张力大小为$（\frac{9}{2}-\sqrt{3}）mg$；
（2）小球在地面上运动的最大距离为$\frac{（7-2\sqrt{3}）L}{4μ}$．

点评 本题关键是明确球的运动情况和受力情况，结合运动学公式、机械能守恒定律、动能定理和向心力公式列式求解，注意绳子突然绷紧时的速度是变化的．